Re: [中學]面積極值

看板Math作者chemmachine (chemmachine)時間6年前 (2019/09/04 23:32)推噓2(2推 0噓 19→)

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※ 引述《HCPaulSC (失去方向)》之銘言： : 已知四邊形ABCD , AB=BC=2 , CD=3 , AC=1 : 求四邊形ABCD面積的最大值 : 朋友來求解此題，但小弟脫離高中數學太久想了好久XD : 我的想法是把四邊形切成兩個三角形，用1/2ab * sinC這個公式來求，最後再用算幾不等式，但算到後面就卡關了，發現既然題目要最大值，怎麼整理到後面會是大於等於 (?) : 不知道是不是我思考的流程有哪裡出錯，有別的解法才對呢 Orz : ----- : Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z012DA. AC應改為AD 這個整體來說是一個已經知道的定理，是一個難題。整個大定理是等周定理及其引理，等周定理：若周長固定，則面積為圓時面積最大。證明WIKI有。多邊形版等周定理：若周長及每邊長固定，則圓內接多邊形時最大。當多邊形為四邊形，則圓內接四邊形面積最大。一個簡易的半證明使用拉格朗日乘子法計算極值：證明其為最小值要用海森矩陣試試看：令四邊形邊長依序為a、b、c、d，a和d夾角x，b、c夾角y，則面積函數為1/2adsinx+1/2bcsiny 限制式為 a^2+d^2-2adcosx=b^2+c^2-2bccosy a，b，c，d為已知 f(x，y)=1/2adsinx+1/2bcsiny+lumbda(a^2+d^2-2adcosx-b^2-c^2+ 2bccosy) f對x和y分別偏微分，消去lumbda再整理可得 tanx=-tany 故tanx+tany=0 tan(x+y)=0 sin(x+y)=0 x+y=0或pi 取x+y=pi為極值故四邊形為圓內接四邊形。再用圓內接四邊形面積公式得 sqrt(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)= 2*SQRT(3) 這裡s=1/2(a+b+c+d)=1/2(2+2+3+1)=4 REFERENCE： 1.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%91%A8%E5%AE%9A%E7%90%86 維基百科 2.http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d173/17304.pdf 3.高中數學競賽教程，九章出版社(有非拉格朗日乘子的證明，在幾何的那幾個章節，手上沒書) 4.http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2008/03/blog-post_20.html 彬爸部落格 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.33.34.117 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1567611166.A.72E.html

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