[微積] 一題微分方程求解

看板Math作者 (leeleo)時間6年前 (2019/02/16 03:07), 編輯推噓9(9推 0噓 41→)
留言50則, 4人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
題目如下圖，我看解答最後的f(x^2)=exp(x^2) * cos(x^2)，但是我算的如下圖，是f( x^2)=exp(x^2) * |cos(x^2)|，不知道為什麼解答不用加絕對值，因此最後的結果也差 了一個負號。 https://i.imgur.com/ed98jIn.jpg
謝謝版上的各位。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 124.8.73.107 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1550257643.A.65F.html
推
02/16 05:30, 6年前 , 1F
因為ln |f(x)| 也有絕對值
02/16 05:30, 1F
→
02/16 05:31, 6年前 , 2F
後來絕對值會不見是因為你選定了常數是1
02/16 05:31, 2F
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02/16 07:28, 6年前 , 3F
這不會碰到 tan(pi/2)?
02/16 07:28, 3F
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02/16 07:47, 6年前 , 4F
cos 會跟 tan 消掉
02/16 07:47, 4F
推
02/16 13:06, 6年前 , 5F
如果題目只有這樣，你沒答錯。
02/16 13:06, 5F
→
02/16 13:07, 6年前 , 6F
其實這題答案是多值：任意數。
02/16 13:07, 6F
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02/16 13:08, 6年前 , 7F
但是補上一些f的平滑性要求後，就只剩解答的那個了
02/16 13:08, 7F
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02/16 13:09, 6年前 , 8F
你想一下，你的f在√π是不能微分的，但解答的可以
02/16 13:09, 8F
推
02/16 13:10, 6年前 , 9F
少打/2
02/16 13:10, 9F
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02/16 16:50, 6年前 , 10F
To Desperato: 請教一下為什麼將c設為1之後絕對值
02/16 16:50, 10F
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02/16 16:50, 6年前 , 11F
會消失呢？下圖是我的計算過程，最後好像得到的還
02/16 16:50, 11F
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02/16 16:50, 6年前 , 12F
02/16 16:50, 12F
推
02/16 16:57, 6年前 , 13F
就像 Vulpix 說的 有沒有要求 f 要一次可微分
02/16 16:57, 13F
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02/16 16:57, 6年前 , 14F
如果有的話 e^x |cos x| 在 x = pi/2 地方不可微
02/16 16:57, 14F
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02/16 16:58, 6年前 , 15F
但 e^x cos x 或 - e^x cos x 可以
02/16 16:58, 15F
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02/16 16:58, 6年前 , 16F
所以其實我們在第一行就會拆絕對值 兩邊都拆
02/16 16:58, 16F
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02/16 16:59, 6年前 , 17F
變成 f(x) = +- c e^x cos x 然後才代值
02/16 16:59, 17F
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02/16 16:59, 6年前 , 18F
To Vulpix: 因為答案是要求f(π)，所以答案不是應
02/16 16:59, 18F
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02/16 16:59, 6年前 , 19F
該只有一點嗎？而且f(x^2)=-exp(x^2)cos(x^2)，好
02/16 16:59, 19F
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02/16 16:59, 6年前 , 20F
像也會符合平滑的條件，那這樣f(x^2)有兩種答案的
02/16 16:59, 20F
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02/16 16:59, 6年前 , 21F
意思嗎？
02/16 16:59, 21F
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02/16 17:17, 6年前 , 22F
D大可是如果後拆的話，就會發現c只能為1而不能為負
02/16 17:17, 22F
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02/16 17:17, 6年前 , 23F
1，想問一下是什麼原因要先拆絕對值，謝謝。
02/16 17:17, 23F
推
02/16 17:20, 6年前 , 24F
你剛剛寫到的f，代0不是1，所以不是解。
02/16 17:20, 24F
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02/16 17:25, 6年前 , 25F
因為 |f(0)|=1, f(0) 可以是 1 or -1
02/16 17:25, 25F
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02/16 17:27, 6年前 , 26F
是我這邊理解錯了嗎
02/16 17:27, 26F
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02/16 17:27, 6年前 , 27F
02/16 17:27, 27F
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02/16 17:27, 6年前 , 28F
因為我記得上下界一樣就是為0
02/16 17:27, 28F
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02/16 17:29, 6年前 , 29F
第二行積分裡面應該是f(y)才對，寫錯。
02/16 17:29, 29F
推
02/16 17:49, 6年前 , 30F
以tan(x)的奇異點分段，每一段裡面，f(x)都是c*ex
02/16 17:49, 30F
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02/16 17:49, 6年前 , 31F
p(x)*cos(x)，但是每一段的c都可以不一樣。依照原
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02/16 17:49, 6年前 , 32F
題，只能確定含0的那一段，c是1，其他段的c都是未
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02/16 17:49, 6年前 , 33F
定。如果要把全部C^1地串起來，就會要求每一段的c
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02/16 17:49, 6年前 , 34F
都是1。
02/16 17:49, 34F
推
02/16 17:51, 6年前 , 35F
其實你的ODE只要跨過那些奇異點就會怪怪的，所以
02/16 17:51, 35F
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02/16 17:51, 6年前 , 36F
比較完善的解法是一段一段解，再接起來。)
02/16 17:51, 36F
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02/16 17:55, 6年前 , 37F
那些點也剛好會是f的零點，回頭檢查自己的計算過程
02/16 17:55, 37F
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02/16 17:55, 6年前 , 38F
看看，是不是曾經用0除過呢？
02/16 17:55, 38F
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02/16 19:43, 6年前 , 39F
不好意思，檢查一遍後還是沒能找出哪裡用0除過...
02/16 19:43, 39F
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02/16 19:44, 6年前 , 40F
而且像這種題目，又該如何找出別段的C呢？https:/
02/16 19:44, 40F
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02/16 19:44, 6年前 , 41F
/i.imgur.com/0lkUJIx.jpg
02/16 19:44, 41F
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02/16 19:44, 6年前 , 42F
感謝大大。
02/16 19:44, 42F
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02/16 19:46, 6年前 , 43F
因為他也沒給其他的資訊，只能知道由題目推得x=0那
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02/16 19:46, 6年前 , 44F
一點的c
02/16 19:46, 44F
推
02/16 19:52, 6年前 , 45F
除以 f(x^2)，這個步驟在 √(π/2) 這類的 x 上就
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→
02/16 19:52, 6年前 , 46F
是除以 0。只要不碰到他們就沒關係。
02/16 19:52, 46F
推
02/16 19:55, 6年前 , 47F
題目長這樣，那就沒救了XD f(π) 是任意的。
02/16 19:55, 47F
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02/16 19:57, 6年前 , 48F
你可以驗算看看，exp*|cos| 真的也是原方程式的解
02/16 19:57, 48F
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02/16 19:57, 6年前 , 49F
。
02/16 19:57, 49F
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02/16 20:56, 6年前 , 50F
我知道了，謝謝大大耐心的講解。
02/16 20:56, 50F
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