Re: [機統] 時間期望值

看板Math作者Desperato (Farewell)時間5年前 (2019/01/25 02:15)推噓3(3推 0噓 5→)

留言8則, 3人參與討論串2/2 (看更多)

※ 引述《altecgp125 (Wheat_Black_Tea)》之銘言： : 題目： : 給定一個正三角形S，其頂點A1,A4,A6以及其邊長中點A2,A3,A5。現有一螞蟻從A1節點出 : 發，欲從每個節點往相鄰節點（不包含起點節點）之機率均等，且時間皆會花費一分鐘， : 過程中每個節點可能會重複被螞蟻經過，試問：螞蟻從A1走到A6就停止的時間期望值？ : Q：本身想用基本土方法以時間2、3、4......分鐘分類求各別機率，但苦於找不到規律！ : 先謝謝高手指點迷津 (1) 假設圖長以下這個樣子 A1 / \ A2－A3 / \/ \ A4－A5－A6 (2) 假設螞蟻不走回頭路例如從 A1 走到 A3 後只會在 A2, A5, A6 三選一若他選了 A2 接下來也只會在 A1, A4, A5 三選一由於螞蟻走路需要考慮方向問題，本題的 state 會非常多我原本的作法是打算拆階段減少 state 但做到一半卡住懶了XD 決定硬幹全 state 考慮以下 8 個 state G: A3->A6, A5->A6 L: A3->A5, A5->A3 A: A1->A3, A4->A5 B: A3->A2, A5->A2 C: A2->A1, A2->A4 D: A2->A3, A2->A5 E: A3->A1, A5->A4 F: A1->A2, A4->A2 由於對稱，我把一些 state 算在一起，不然就 16 個 state 了設 a = 1/3, b = 2/3, 則機率的轉移矩陣為 (G 那行會是 0，因為沒有下一步) G L A B C D E F G [ a a a ] L [ a a ] A [ 1 ] T = B [ a a ] C [ b a ] D [ a b ] E [ a a ] F [ 1 ] 或者重新寫一個的話 G C A D L B E F G [ a a a ] C [ b a ] A [ 1 ] T = D [ a b ] L [ a a ] B [ a a ] E [ a a ] F [ 1 ] 好吧，沒救了，就這樣。設 c = 1/2 初始向量即第一步為 v = v_1 = [ 0 0 c 0 0 0 0 c ]^t 第 n 步為 v_n = T^(n-1) v_1 以下假設 lim(n->inf) T^n = O 且 lim(n->inf) nT^n = O 期望值 E = v + 2Tv + 3TTv + 4TTTv + ... TE = Tv + 2TTv + 3TTTv + ... (I-T)E = v + Tv + TTv + TTTv + ... T(I-T)E = Tv + TTv + TTTv + ... (I-T)(I-T)E = v E = CCv, C = (I-T)^(-1) 於是我找到變態計算機啦ow o [ 1 1 1 1 1 1 1 1 ] d 27/16 j 13/16 [ 0 d e f g n m m ] e 11/16 k 7/16 [ 0 d d f g n m m ] f 9/16 C = [ 0 f f d g m n n ] [ 0 g g g h g g g ] g 3/4 m 15/16 [ 0 j j k g d f f ] h 3/2 n 21/16 [ 0 k k j g f d e ] [ 0 k k j g f d d ] 提示：Matrix Reshish 已加入我的最愛！ https://matrix.reshish.com/inverse.php 選項有 100x100 的 matrix，不過 25x25 就佔滿了其實，開太大會lag 比 WolframAlpha 好用一百倍啊XD 因此 Cv = [ 1 j n m g e f p ] p 17/16 CCv 的第一項 = (16+13+21+15+12+11+9+17)/16 = 57/8 所以答案是 57/8 分鐘概念上是這樣啦，根本搞不清楚有沒有算錯XD -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.41 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1548353755.A.4A1.html

推

Vulpix

01/25 03:22, 5年前 , 1^F

01/25 03:22, 1^F

→

Desperato

01/25 03:43, 5年前 , 2^F

01/25 03:43, 2^F

推

Vulpix

01/25 03:56, 5年前 , 3^F

01/25 03:56, 3^F