[微積] 關於交錯級數審斂的問題

看板Math作者 (leeleo)時間7年前 (2018/12/23 16:18), 編輯推噓4(4推 0噓 73→)
留言77則, 5人參與, 7年前最新討論串1/1
因為交錯級數收斂有兩個條件 1.是遞減函數 2.當n趨近∞，則第n項趨近0 找不到有什麼是第2個條件成立，但第1個不成立的，如果在數列首項>0的情況下，那為 什麼還要多出第一個條件限制呢？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 124.8.73.19 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1545553098.A.660.html
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12/23 16:23, 7年前 , 1F
wiki有個反例
12/23 16:23, 1F
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12/23 17:01, 7年前 , 2F
那好像是個反例，但是那個似乎無法轉成Σ(-1)^(n+
12/23 17:01, 2F
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12/23 17:01, 7年前 , 3F
1)*f(n)形式
12/23 17:01, 3F
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12/23 17:02, 7年前 , 4F
我是想說如果轉成上述形式，是否就沒有反例了
12/23 17:02, 4F
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12/23 18:12, 7年前 , 5F
偶數項1/n，奇數項1/2^n
12/23 18:12, 5F
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12/23 18:12, 7年前 , 6F
基本上因為算Σ比較麻煩，所以反例通常都分兩項
12/23 18:12, 6F
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12/23 18:28, 7年前 , 7F
簡單說就是上下振動但還是趨近 0
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12/23 18:28, 7年前 , 8F
而振動正好跟正負 1 的週期 2 相等所以無法抵消
12/23 18:28, 8F
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12/23 19:46, 7年前 , 9F
不好意思，你指的反例是這個嗎？https://i.imgur.
12/23 19:46, 9F
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12/23 19:46, 7年前 , 10F
com/M6h2wKh.jpg
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12/23 19:47, 7年前 , 11F
12/23 19:47, 11F
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12/23 19:49, 7年前 , 12F
兩個都是反例啊
12/23 19:49, 12F
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12/23 20:40, 7年前 , 13F
但是在上面那個反例，他是我列出來的條件一跟條件
12/23 20:40, 13F
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12/23 20:40, 7年前 , 14F
二同時成立
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12/23 20:41, 7年前 , 15F
我疑惑的是有無條件2成立，但條件1不成立的例子
12/23 20:41, 15F
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12/23 20:51, 7年前 , 16F
沒有啦，要是兩個都成立，就會收斂了
12/23 20:51, 16F
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12/23 20:56, 7年前 , 17F
我說的這兩個都是條件1不成立，條件2成立的例子
12/23 20:56, 17F
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12/23 21:10, 7年前 , 18F
感謝大大解惑
12/23 21:10, 18F
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12/23 21:10, 7年前 , 19F
但是我貼的那個例子中，算出來好像就是兩個條件成
12/23 21:10, 19F
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12/23 21:10, 7年前 , 20F
立，但是還是發散的
12/23 21:10, 20F
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12/23 21:11, 7年前 , 21F
遇到這種情況該如何判斷比較好呢？
12/23 21:11, 21F
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12/23 21:12, 7年前 , 22F
12/23 21:12, 22F
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12/23 21:15, 7年前 , 23F
你這樣是級數重排，自己多加了括號哦
12/23 21:15, 23F
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12/23 21:17, 7年前 , 24F
實際上你要看的是1/(√n-1)跟1/(√(n+1)+-1)
12/23 21:17, 24F
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12/23 21:20, 7年前 , 25F
甚至應該說，你寫成那樣，跟交錯級數審斂已經無關了
12/23 21:20, 25F
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12/23 21:35, 7年前 , 26F
呃，上兩行n跟n+1應該寫反了
12/23 21:35, 26F
推
12/23 21:48, 7年前 , 27F
新的這張根本沒有交錯吧XD
12/23 21:48, 27F
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12/23 21:57, 7年前 , 28F
終於看懂了，謝謝
12/23 21:57, 28F
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12/23 21:58, 7年前 , 29F
不好意思，還想問一下，如果要計算一個交錯級數的
12/23 21:58, 29F
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12/23 21:58, 7年前 , 30F
收斂半徑，是不是應該以交錯級數的條件去計算，因
12/23 21:58, 30F
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12/23 21:58, 7年前 , 31F
為我看書上計算時，都是直接把Σ(-1)^(n+1)*f(n)當
12/23 21:58, 31F
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12/23 21:58, 7年前 , 32F
成Σf(n)去計算收斂半徑，但是這麼做不是可能會讓
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12/23 21:58, 7年前 , 33F
收斂半徑更小的嗎？
12/23 21:58, 33F
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12/23 22:10, 7年前 , 34F
該不會是看到絕對收斂的東西吧？
12/23 22:10, 34F
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12/23 22:15, 7年前 , 35F
好像沒有提到絕對收斂，他的題目就只有 求Σ(-1
12/23 22:15, 35F
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12/23 22:15, 7年前 , 36F
)^n *f(n)的收斂區間。
12/23 22:15, 36F
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12/23 22:19, 7年前 , 37F
那我就不知道了，我怎麼想都覺得……先別說更小了
12/23 22:19, 37F
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12/23 22:20, 7年前 , 38F
算Σf(n)的半徑也太麻煩了吧
12/23 22:20, 38F
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12/23 22:24, 7年前 , 39F
抱歉說錯，他是說算Σf(x)的收斂半徑
12/23 22:24, 39F
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12/23 22:26, 7年前 , 40F
比如說算Σ(-1)^n * (x-2)/4^n的收斂區間
12/23 22:26, 40F
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12/23 22:42, 7年前 , 41F
你是問這個審斂法審出來可能不是最大半徑吧？
12/23 22:42, 41F
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12/23 22:42, 7年前 , 42F
的確可能不是，因為它不是iff的
12/23 22:42, 42F
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12/23 22:51, 7年前 , 43F
沒記錯的話，我以前好像也有一樣的疑惑，不過我好像
12/23 22:51, 43F
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12/23 22:51, 7年前 , 44F
最後沒去理它...真糟糕
12/23 22:51, 44F
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12/23 23:07, 7年前 , 45F
是的
12/23 23:07, 45F
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12/23 23:10, 7年前 , 46F
因為我用Σ(-1)^(n+1)/n^x去算好像答案真的會不一
12/23 23:10, 46F
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12/23 23:10, 7年前 , 47F
樣
12/23 23:10, 47F
推
12/24 09:24, 7年前 , 48F
可以把正負丟掉 是因為用了root or ratio test吧
12/24 09:24, 48F
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12/24 09:24, 7年前 , 49F
這兩個 test本來就會加絕對值
12/24 09:24, 49F
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12/24 09:29, 7年前 , 50F
不是加絕對值，而是正項級數才能用吧？這情況下就變
12/24 09:29, 50F
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12/24 09:29, 7年前 , 51F
看是否絕對收斂，不過不管怎麼說應該都不是iff的
12/24 09:29, 51F
推
12/24 10:25, 7年前 , 52F
一般書上算收斂半徑的公式只差一點點就是對的。
12/24 10:25, 52F
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12/24 10:26, 7年前 , 53F
對各種簡單情況(不能缺項)來說，都是對的。
12/24 10:26, 53F
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12/24 10:29, 7年前 , 54F
我自己到後來是覺得反正應用上重點是能找到一個半徑
12/24 10:29, 54F
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12/24 10:29, 7年前 , 55F
出來，就沒那麼在意了
12/24 10:29, 55F
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12/24 13:09, 7年前 , 56F
還是覺得應該用更嚴謹的方式比較好@@
12/24 13:09, 56F
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12/24 13:24, 7年前 , 57F
不是啦，我是指其他用到半徑的狀況，這種題目我不太
12/24 13:24, 57F
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12/24 13:24, 7年前 , 58F
喜歡，原因跟你是一樣的
12/24 13:24, 58F
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12/24 13:49, 7年前 , 59F
跟中心的距離超過收斂半徑就一定會發散，所以不是
12/24 13:49, 59F
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12/24 13:49, 7年前 , 60F
已經推到「最大」的地方了嗎？
12/24 13:49, 60F
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12/24 14:30, 7年前 , 61F
也對，不過我那時候好像是亂在書上定義不太清楚
12/24 14:30, 61F
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12/24 14:31, 7年前 , 62F
雖然說是半徑，可是比較該說是區間
12/24 14:31, 62F
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12/24 14:32, 7年前 , 63F
雖然用中心來看就是半徑...
12/24 14:32, 63F
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12/24 14:35, 7年前 , 64F
大概是我自己還有一些題目會把區間跟半徑搞混吧
12/24 14:35, 64F
推
12/24 21:50, 7年前 , 65F
收斂半徑只有power series 有這種東西吧...一般的
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12/24 21:50, 7年前 , 66F
sum f(n)是不會有的
12/24 21:50, 66F
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12/24 21:51, 7年前 , 67F
可是討論power series的時候 root和ratio test 基
12/24 21:51, 67F
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12/24 21:51, 7年前 , 68F
本就是一切 除了邊界點
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12/24 21:53, 7年前 , 69F
root test 和 ratio test 是加絕對值沒錯喔 只要算
12/24 21:53, 69F
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12/24 21:53, 7年前 , 70F
出來不是1 其實正負是無所謂的
12/24 21:53, 70F
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12/24 21:54, 7年前 , 71F
算出來是1的話 反正也一定要用別招XD
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12/24 21:56, 7年前 , 72F
小於1是絕對收斂 大於1因為單項不收斂到0所以肯定
12/24 21:56, 72F
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12/24 21:56, 7年前 , 73F
發散 兩個情況都和正負無關
12/24 21:56, 73F
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12/24 21:57, 7年前 , 74F
嗯，V大講那時我也有瞭解到找半徑時其實是一樣的
12/24 21:57, 74F
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12/24 22:00, 7年前 , 75F
個人覺得alternating沒有 iff 不過只是因為從來沒
12/24 22:00, 75F
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12/24 22:00, 7年前 , 76F
聽過而已(誒
12/24 22:00, 76F
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12/24 22:01, 7年前 , 77F
alternating其實是蠻特殊的情況就是了
12/24 22:01, 77F
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