Re: [代數] 造不可約多項式

看板Math作者 (willeliu)時間7年前 (2018/09/20 16:44), 7年前編輯推噓4(4推 0噓 16→)
留言20則, 4人參與, 7年前最新討論串3/3 (看更多)
※ 引述《ntnusliver (炸蝦大叔~~)》之銘言： : ※ 引述《mack (回家的路)》之銘言： : : 係數是Z_2 : : g = x^64 + ax^3 + bx^2 + cx + d : : a,b,c,d屬於Z_2 : : 要求 g 是不可約 : : 請教我造法跟證明 : (4)剩下來的 : x^64 + x + 1 : 所有一次 二次 三次 因式上面均檢查過了沒有這樣的因式 : 再來要檢查4次 5次... : 如果題目沒說有解 後面就等高人補充... g(x) = x^64 + x + 1 = x^64 - x - 1 這種多項式稱為Artin-Schreier多項式, 不可約。 證明: 假設K是g的splitting field, 在K中找一個g的根, 稱為a。 F_2[a]是F的一個subfield，並且是F_2的一個Galois extension。 令G = Gal(F_2[a]/F_2)。 可以很容易地看出a+1也是g的根，因此 a |-> a+1是F_2[a]的一個automorphism，且order=2，故2 | #G。 根據有限體的結構定理，得知F_2[a]包含F_4作為子體。 現在，對於任何的元素b在F_4中，可以容易地看出a |-> a+b是F_2[a]的automorphism, 因此16 | #G, 根據有限體的結構定理, 得知F_2[a]包含F_65536作為子體, 最後，對所有b在F_64中, 可以看出a |-> a+b是F_2[a]的automorphism， 而且{a+b ; b 在 F_64中} 是多項式g的所有根。因此F_2[a] = K且g不可約。 只是大二數學而已，熟練的話應該不難~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 81.194.27.158 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1537433049.A.DC4.html ※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 16:45:56 ※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 17:05:59
推
09/20 17:51, 7年前 , 1F
謝謝分享
09/20 17:51, 1F
推
09/20 20:09, 7年前 , 2F
Artin-Schreier polynomial 最高次項指數要是質數哦
09/20 20:09, 2F
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09/20 20:10, 7年前 , 3F
事實上 x^64 + x + 1 有因式 x^4 + x + 1
09/20 20:10, 3F
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09/20 20:30, 7年前 , 4F
論證應該是錯在 a |-> a+b 的 order 並非 16
09/20 20:30, 4F
有道理。我錯了， 首先F_64並不包含在F_65536中，因為64 = 2^6而65536 = 2^16但6不整除16。 再來，無法直接說明a |-> a+b可以定義automorphism。 最後，有限體的Galois群是pro-cyclic, 不可能有a|->a+b這樣的automorphism。 ※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 23:07:26
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09/20 23:10, 7年前 , 5F
所以結論是通通都可約..
09/20 23:10, 5F
推
09/20 23:13, 7年前 , 6F
不會有 x |-> x+b, for all x, 但會有唯一一個
09/20 23:13, 6F
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09/20 23:14, 7年前 , 7F
isomorphism 把 a 打到 a+b 吧
09/20 23:14, 7F
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09/20 23:17, 7年前 , 8F
不會，因為多項式可約，只有那些與a同個因式的根
09/20 23:17, 8F
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09/20 23:18, 7年前 , 9F
可以被autormophism送到
09/20 23:18, 9F
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09/20 23:18, 7年前 , 10F
等等, 我 23:13 那個 map 不知道在寫啥...
09/20 23:18, 10F
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09/20 23:19, 7年前 , 11F
哦哦對, 我以為先假設 g irr. 來反證了
09/20 23:19, 11F
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09/20 23:23, 7年前 , 12F
所以你得到了另一個g可分解證明
09/20 23:23, 12F
假設g不可分解。那麼splitting field會是F_2^64。 對任何二個根a, b，都有(a-b)^64 = a-b。 因此a-b落在F_64中。 但由於F_64非F_2^64的子體，對於某二個a和b， a-b不在F_65536中，矛盾。 ※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 23:29:12
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09/20 23:28, 7年前 , 13F
XD
09/20 23:28, 13F
※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 23:31:41
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09/21 14:49, 7年前 , 14F
irr 的話, splitting field 是 F_{2^64} 比較直接?
09/21 14:49, 14F
是的，寫錯了，謝謝。 應該說F_{2^6}並非F_{2^64}的子體(而不是F_{2^16})。
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09/21 14:50, 7年前 , 15F
另外, a^4096 = (a+1)^64 = a 可以知道
09/21 14:50, 15F
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09/21 14:51, 7年前 , 16F
splitting field 在 F_4096 裡, 所以 g reducible
09/21 14:51, 16F
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09/21 14:53, 7年前 , 17F
還可以估算因式的最高次數
09/21 14:53, 17F
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09/21 15:12, 7年前 , 18F
然後我想問本文中 16 | #G 的理由@@
09/21 15:12, 18F
原本我以為對所有b在F_16中 a|-> a+b都是automorphism。這樣的話這些automorphism會構成G的子群。 ※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/21/2018 19:31:48
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09/21 19:40, 7年前 , 19F
可是上一句只有 F_4
09/21 19:40, 19F
推
09/21 23:13, 7年前 , 20F
推
09/21 23:13, 20F
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