Re: [代數] 求f(2017)
※ 引述《gdchess (飄弈)》之銘言：
: f(x+1)= [1+f(x)]/[1-f(x)] f(2)=2017
: 如標題...
: 卡關了QQ
原則:分子分母都有變數->看了很煩->就把分子的變數移除變成帶分數
step1:f(x+1)+1=2/[1-f(x)]
-> [f(x+1)+1][1-f(x)]=2............................R1
step2:為了少打一點字 簡寫g(x)=1/f(x)
g(x+1)=[1-f(x)]/[1+f(x)]=[g(x)-1]/[g(x)+1]
-> [g(x+1)-1][g(x)+1]=-2
-> [1-f(x+1)][1+f(x)]=-2f(x)f(x+1).................R2
step3:相乘R1和R2兩個式子
[1-f(x+1)f(x+1)][1-f(x)f(x)] =-4f(x)f(x+1)
[1-f(x+1)f(x+1)][1-f(x+2)f(x+2)]=-4f(x+2)f(x+1)
所以[1-f(x)f(x)]/f(x)=[1-f(x+2)f(x+2)]/f(x+2)
step4:假設(1-aa)/a=(1-bb)/b下去計算
可得ab=-1或a-b=0
我也懶得去討論是哪一個對
如果是前者則f(x)f(x+2)=-1 -> f(x)=f(x+4)
如果是後者則f(x)=f(x+2)
(如果依照Honor1984大大的說法 應該是前者正確
但總之驗證的方法就是直接看f(1)和f(3)的關係)
step5:f(1)=f(2017)=1-(2/2018)... Ans
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函數方程有很多類似的問題
可以參考wiki解釋: https://zh.wikipedia.org/wiki/函數方程
然後複分析裡面有很多gamma/zeta/...之類的函數
都是要用這種週期性和一些複雜的恆等式來延拓和分析
甚至於更多的情況還需要搭配積分(如積分一圈=0的性質)來推論
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