[分析] 微分有界則極限存在 反例一問(1000p)

看板Math作者 (QQ)時間5年前 (2018/08/26 00:49), 5年前編輯推噓8(8推 0噓 23→)
留言31則, 5人參與, 5年前最新討論串1/1
想請問一個如題的問題，但請先聽我說個來龍去脈XD 懶人包直接在最後 ------------------------------------------------- <property> Let f：U → R^m be a differentiable function where U is an open set in R^n If p€bd(U) and │Df(x)│<= M for all x around p with the same radius r define d below and there exists r > 0 s.t. B_p(r)∩U is convex Then lim f(x) exists x→p 這個性質用MVT + cauchy criteria很好證，而且從紅色條件看出來convex才讓MVT對 但是，我找了一些反例(不符合紅色，然後微分有界但是導出極限不存在)時 發現這些反例恰好都是 B_p(r)∩U is disconnected 所以我才猜測說 會不會其實只要 B_p(r)∩U is connected的話 這個定理就成立 但是我證不出來(因為MVT就是要convex讓線不超出) 也湊不出反例QQ 因為藉由觀察 已經證出：如果 (1) B_p(r)∩U 可以寫成一群 convex sets C_i的聯集 (2) 每個C_i至少存在一個C_j, j=/=i, 使得 p€limit point(C_i ∩ C_j) 則原定理還是成立 舉例來說，假設 U = R^2 - {(0,0)}，那 p = (0,0)就是U的邊界點 而B_p(R)雖然不是convex的，但是他可以寫成四個半平面(當然convex)的聯集 因此藉由一些極限操作手法也可以證明原定理成立 所以反例只可能發生在像 U = R^2 - {x^2+y^2 <= 1} 這種case 比如 p = (0,1)€bd(U) 那 B_p(r)∩U 就如同右圖綠色區域 https://imgur.com/Rd3q6tK
這種有圓弧的絕對不可能寫成有限個凸子集的聯集 ======================================================= 總之，懶人包的話，想要證明或是給反例以下定理： Let f：U → R^m be a differentiable function where U is an open set in R^n If p€bd(U) and │Df(x)│<= M for all x around p with the same radius r define d below and there exists r > 0 s.t. B_p(r)∩U is conncected Then lim f(x) exists x→p 第一個給出證明或是反例的1000p 感謝~ 困擾很久了QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.68.160.241 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1535215759.A.0BC.html
推
08/26 11:38, 5年前 , 1F
convex不是條件嗎
08/26 11:38, 1F
→
08/26 11:38, 5年前 , 2F
既然disconnected就不會convex那自然不是這個定理在
08/26 11:38, 2F
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08/26 11:38, 5年前 , 3F
描述的對象
08/26 11:38, 3F
推
08/26 11:56, 5年前 , 4F
這當然不對吧 令 f = log 挑一個branch, U = C-正
08/26 11:56, 4F
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08/26 11:56, 5年前 , 5F
x軸, p=(1,0), r = 2 不就顯然死了
08/26 11:56, 5F
推
08/26 12:02, 5年前 , 6F
如果擔心(0,0)進去 挖掉就好
08/26 12:02, 6F
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08/26 13:12, 5年前 , 7F
@s大 我是想證或是反正connected的case
08/26 13:12, 7F
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08/26 13:14, 5年前 , 8F
@D大 sor 那個微分有界around p的半徑跟r要一樣 我
08/26 13:14, 8F
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08/26 13:14, 5年前 , 9F
改一下
08/26 13:14, 9F
推
08/26 14:35, 5年前 , 10F
在 R^2, 找個無限長、通往 0 的螺線, 適當地把
08/26 14:35, 10F
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08/26 14:38, 5年前 , 11F
這螺線變寬. 函數就依照輻角來訂(計算圈數)
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08/26 14:38, 5年前 , 12F
(0, 0) 要挖掉, 那點就是反例
08/26 14:38, 12F
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08/26 14:39, 5年前 , 13F
connected 太寬鬆了, 我覺得應該能限縮在
08/26 14:39, 13F
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08/26 14:40, 5年前 , 14F
path-connected 的情形
08/26 14:40, 14F
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08/26 14:43, 5年前 , 15F
有 path 就能套 MVT, 要擔心的是會不會有從 p 到
08/26 14:43, 15F
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08/26 14:44, 5年前 , 16F
各點都有 path, 然而這些 paths 長度無上限的狀況
08/26 14:44, 16F
a大有具體的反例嗎?? 而你說的"connected太寬鬆"這問題 在R^n應該不存在吧!? R^n中的open set，其connected, path-connected, polygonally connected 彼此等價 原本我就是想用polygonally connected來處理MVT 但是先不論長度問題 光是拆開一次後就回不去原本形式了，比如： │f(x)-f(y)│<= │f(x)-f(z)│+ │f(z)-f(y)│ <= M(│x-z│+│z-y│) 但是│x-z│+│z-y│無法再寫回│x-y│了 ※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 08/26/2018 16:24:52
推
08/26 16:57, 5年前 , 17F
哦~ 我的 path-connected 要把 p 點加進來看
08/26 16:57, 17F
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08/26 16:58, 5年前 , 18F
這麼講的確是有點怪
08/26 16:58, 18F
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08/26 16:58, 5年前 , 19F
至於後面的 │x-z│+│z-y│ 就是 path 的長度了
08/26 16:58, 19F
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08/26 17:00, 5年前 , 20F
當 r → 0 時, 這個長度的上限只要也趨近於 0
08/26 17:00, 20F
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08/26 17:01, 5年前 , 21F
那就能證 continuous. 我例子裡的螺線就是故意
08/26 17:01, 21F
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08/26 17:01, 5年前 , 22F
打破這個條件. 要具體寫出來會有點醜, 我整理後
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08/26 17:01, 5年前 , 23F
再寄信給你好了
08/26 17:01, 23F
推
08/26 23:09, 5年前 , 24F
我覺得a大方法有點難，因為當螺線越繞越小時，x(或y
08/26 23:09, 24F
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08/26 23:09, 5年前 , 25F
)變動一點時，幅角就會變動蠻多的，也就是說微分bdd
08/26 23:09, 25F
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08/26 23:09, 5年前 , 26F
這條件有點強。但不能用MVT的難處的確就是曲線無限
08/26 23:09, 26F
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08/26 23:09, 5年前 , 27F
長的問題。
08/26 23:09, 27F
推
08/26 23:23, 5年前 , 28F
哦哦對耶~ 原本是想用螺線走了多長, 但不好表達
08/26 23:23, 28F
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08/26 23:23, 5年前 , 29F
才換成輻角
08/26 23:23, 29F
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08/26 23:25, 5年前 , 30F
用螺線走的距離, 微分大小就能 bound 在 1 附近
08/26 23:25, 30F
推
08/27 03:36, 5年前 , 31F
有道理
08/27 03:36, 31F
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