Re: [分析] 台大數研所高微考題疑義
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 今天還昨天是台大數研所的考試
: 學弟找我討論其中一題
: 題目是這樣子的
: 令X是包含於R^2的集合，f定義在X上，
: 證明若對於任何X裡的有界集合B，f在上面都均勻連續，
: 則f可以連續的擴展到X的closure，且在X的closure上面連續。
: 學弟說題目關於f的對應域 並沒有寫是誰(或有可能只是一般的度量空間)
: 那這樣好像就證不出來 至少對應域還要有一些條件 可能緊緻或完備?
: 我脫離這些術語有點久了 上來問大家一下 順便問這裡有沒有考生記得那題的精確敘述的
這種敘述我有印象 學生時期也有證過 99%可以拓成以下形式
Let M, N be two metric spaces, N complete
and S is a subset of M, (S may not be bounded, M may not be R^n)
if f：S → N is uniformly continuous on S
then there exists a unique extension on S^bar, say F,
s.t. F is uniformly continuous on S^bar
(有人是證明F在S^bar連續, 這樣如果M=R^n, S bounded, S^bar就compact
直接imply F是均勻連續, 但是其實S,M不用那麼強, 直接證明F連續的過程
就能發現delta_epsilon跟x,y無關)
sketch:
(1) F:= f , x€S
lim f(a_n) , L€S^bar \ S, where a_n→L
n→inf
證明
(a)均勻連續把cauchy sequence送到cauchy sequence, 這是為什麼N需要完備
(b)independent of a_n chosen
(2) extension is unique
(3) 直接證明F在S^bar均勻連續
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推
02/15 16:44,
7年前
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02/15 16:44, 1F
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