Re: [其他] 根號(-2) = 根號(2)x(i) , x是乘號

看板Math作者Desperato (Farewell)時間8年前 (2018/01/12 19:07)推噓9(9推 0噓 9→)

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※ 引述《AppleOuO (AppleOuO)》之銘言： : 大家午安 : 我對“i “的定義是 i = 根號(-1) 且 (i)x(i) = (-1) : 那麼請問一下 : 我要怎麼知道根號(-2) = 根號(2)x(i) : 好奇這問題的背景是： : 剛剛看影片有人說 : 根號(-1)乘根號(-1) = 根號[(-1)x(-1)] = 根號(1) = 1 為什麼不對 : 原因是沒有人說在複數中 : 根號(a)x根號(b) = 根號[(a)x(b)] : 所以才發現自己不知道為什麼 : 根號(-2) = 根號(2)x(i) : 謝謝~ A. 一般來說根號是給正數用而不是負數的 (Thm) 給定正實數 a 和正整數 n 「存在」「唯一」正實數 x 滿足 x^n = a (pf) 證明省略 (Def) 稱此 x 為「n 次根號 a」，記作 x = (n)√a (n要放在根號左上方) 例如 x^2 = 1 其實有兩個答案 1, -1 其中只有 1 是正的，因此 √1 = 1 而不是 -1 再來 x^4 = 16 有兩實根 2, -2 和兩虛根 2i, -2i 但其中只有 2 是正實根，因此 (4)√16 = 2 在這個定義之下，很容易證明 (Prop) a, b為正實數，則 √(ab) = √a √b (pf) x = √a 滿足 x^2 = a 且 x > 0 y = √b 滿足 y^2 = b 且 y > 0 則 xy 滿足 (xy)^2 = x^2y^2 = ab 且 xy > 0 可是 z = √(ab) 也滿足 z^2 = ab 且 z > 0 既然正實根只有一個，因此 xy = √a √b 就是 z = √(ab) B. 現在我們希望把根號的定義拓展到負實數甚至到複數上面去如果只考慮負實數和奇數次根號的話那可以這樣定義 (Thm) 若 a 為負實數，n 為正奇數則有唯一一個負實根 x 滿足 x^n = a (Def') 稱此 x 為「n 次根號 a」，記作 x = (n)√a 例如 x^3 = -8 有一個實根 -2 和兩個虛根 1+i√3, 1-i√3 其中只有 -2 是負實數，則稱 (3)√(-8) = -2 但是偶數次根號的情況，事情就沒這麼簡單了例如 x^2 = -1 沒有實根，有兩個虛根 i, -i 那要選哪個當成 √(-1) 比較好呢? 有些人會說，啊你都定義 i = √(-1) 了，幹嘛要選負的那個那麼 x^4 = -4 沒有實根，有四個虛根 1+i, -1+i, -1-i, 1-i 選哪個當成 (4)√(-4) 比較好呢? 有些人會說，有一個根 1+i 實部和虛部都是正的，那就選它吧那麼 x^6 = -64 沒有實根，有六個虛根 √3+i, i, -√3+i, -√3-i, -i, √3-i 選哪個當成 (6)√(-64) 比較好呢? 是看起來很乾淨的 i 嗎? 還是實部虛部都正的√3+i? 說到底這兩根有哪裡比別人厲害一定要選他們嗎? C. 這種時候，不把複數平面搬出來，會蠻難做下去的 (Prop) 無論 a 是正實數、負實數、或是根本就是複數，只要 a 不是 0 給定正整數 n，方程式 x^n = a 總有 n 個複數根(含可能的實數根) 其中會有一個 x 在複數平面上，與實部軸(Re)正向的夾角最小 (夾角只能是從實部軸正向，逆時針轉的角度，不能順時針轉) (Def) 則稱此 x 為 a 的「n 次(複數)根號 a」，記作 x = (n)√a https://i.imgur.com/fTzpkw7.png

因此可以從圖中看到 x^2 = -1 √(-1) = i x^4 = -4 (4)√(-4) = 1+i x^6 = -64 (6)√(-64) = √3+i 特別注意，在C這裡定義的複數方根和 A 定義的正數方根是相容的 (下圖左邊) (其實就是0度) 但和 B 定義的負數方根是衝突的 (下圖右邊) https://i.imgur.com/OHvwQbd.png

我們會視情況採取其中一個定義，例如實數上的微積分很常用B的定義但基本上，偶數次方根沒有別人，一定是使用C的定義另外，複數方根的 √(ab) = √a √b 不一定會成立畢竟原本定義取的是「最小角度」兩個方根乘一乘之後，角度可能就不是最小的了雖然在這邊沒有證明，兩複數相乘時，角度會相加當 a, b 為正實數時之所以會對，是因為正實數角度是 0 度，怎麼加都是 0 度例如 √(-1) 在複數平面上是 90 度角則 √(-1) √(-1) = -1 在複數平面上就會變成 90 + 90 = 180 度角但是顯然 √[(-1)(-1)] = √1 = 1 角度回到 0 度角去了 D. 所以我們來回答問題吧，根據C的定義 √(-2) 是 x^2 = -2 的兩複數根 i√2, -i√2 中和正實部軸夾角比較小的那個 (90度, 270度) 也就是 i√2，因此 √(-2) = i√2 懶人包：√(-2) = i√2 是定義 -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.217.128.13 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1515755221.A.29B.html

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AppleOuO

01/12 19:10, 8年前 , 1^F

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AppleOuO

01/12 19:11, 8年前 , 2^F

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arthurduh1

01/12 19:14, 8年前 , 3^F

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