Re: [中學] 幾何問題
: : 如圖，E為正方形內切圓形上的任一點
: : 求tan^2(α)+tan^2(β)=?
: 不失一般性,可設為單位圓
: 令E對AC,BD的投影點分別為P,Q, 設EP=p,EQ=q, 則p^2+q^2=1
: 2√2/q
: tanα=tan(∠DEQ+∠BEQ)= --------------- = -2√2q
: 1-(2-p^2)/q^2
: 同理 tanβ=-2√2p
: 故(tanα)^2+(tanβ)^2=8(q^2+p^2)=8
設(x-1)^2+(y-1)^2=1
其中O(1,1)為圓心點,A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)
即可設
參數E(1+cost,1+sint)
cos(alpha)=(1-cost,-1-sint) dot (-1-cost,1-sint)
/sqrt(3-2cost+2sint)*sqrt(3+2cost-2sint)=-1/{sqrt[3^2-4(cost-sint)^2]}
同理
cos(beta)=(1-cost,1-sint) dot (-1-cost,-1-sint)
/sqrt(3-2cost-2sint)*sqrt(3+2cost+2sint)=-1/{sqrt[3^2-4(cost+sint)^2]}
因此
tan^2(alpha)+tan^2(beta)
=2*(9-1-4)=2*4=8...ans
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