Re: [分析] Sturm-Liouville problem

看板Math作者Schwinger (千金之子不死於盜賊)時間8年前 (2017/11/19 02:21)推噓0(0推 0噓 7→)

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※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言： : 不太確定以下有回答到你的問題： : 考慮以下偏微方 : u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x) --- (*) : 其中 u 為實值函數。 : 其中 x 屬於 [0,1]，不妨考慮 Neumann 邊界條件 u_x(t,0) = u_x(t,1) = 0 : （其他例如 Dirichlet 或 Robin 邊界條件不影響以下結果）。 : 假設 f 夠光滑。 : 給定 C^1 函數 w = w(x)，定義 zero number z(w) 為 w 在 [0,1] 上的嚴格變號次數 : （strict sign change） : 定理（Angenent 1988，文獻偶爾稱為 Sturm-Liouville property） : 若 u(t,x) 為 (*) 的解，則 : 1. z(u(t,‧)) 為有限非負正數。 : 2. z(u(t,‧)) 為時間 t 的遞減函數。 : 3. 當 u(t,‧) 在 t = t_0 有重根 x = x_0，亦即 u(t_0,x_0) = u_x(t_0,x_0) = 0， : 則 z(u(t,‧)) 在 t = t_0 嚴格遞減。 : 註： : i. : Angenent 定理可看做 parabolic comparison principle 的推廣。 : ii. : Angenent 定理可用來刻劃 (*) 的全域吸子（global attractor）。簡要說明如下： : 假設 f 滿足 dissipative 條件，文獻已知全域吸子存在，又 Matano 證明了 (*) : 必有 Lyapunov functional。現假設所有(*) 的均衡解 v = v(x) ， : 0 = v_{xx} + f(x,v,v_x), v_x(0) = v_x(1) = 0 : 皆為 hyperbolic，亦即 0 不是(*) 對於 v 之 variational problem 的特徵值， : 則全域吸子在 orbital equivalence 的意義下等價於均衡解跟均衡解之間的 : heteroclinics。而 Angenent 定理決定了哪些均衡解之間有 heteroclinics 聯結。 : ＿＿＿＿ : 佳佳 : ※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言： : : 施圖姆-劉維(Sturm-Liouville)問題的解常被用在 : : 解邊界值常為分和偏微分方程上 : : 一般課本提到施圖姆-劉維問題都是常微分方程的形式 : : 那麼有沒有偏微分方程的形式呢? : : 這時候會有不只一組特徵函數級嗎? 各個特徵函數集之間特徵函數應該是一組吧? : : 會有啥關聯嗎? 各個特徵函數一定是正交而且orthonormal,而且這基底一定是complete,這是 Sturm-Liouville最漂亮的定理,他也幾乎無所不在,Jackson電動力學和量子力學就是 Sturm-Liouville B.V.P最好的應用回文看起來挺有趣,但是這問題沒這麼複雜,Sturm-Liouville 是常微分方程道理其實很簡單,你做PDE幾乎90%一定是把偏微分方程用分離變數法為什麼可以用分離變數法? 猜啊,這一定是獨立才可以拆成二個.然後想辦法變成O.D.E 為什麼可以猜,因為有邊界條件啊,沒邊界條件的PDE一定不是Sturm-Liouville 比較深入的可以看一下交大出版社林琦焜教授的書 RIESZ位勢與SOBOLEV不等式 http://m.sanmin.com.tw/product/index/000592313 這裡面確實蠻多有趣的Sturm-Liouville特殊函數問題的技巧希望有幫到你 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.34.102.191 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1511029283.A.DCB.html

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saltlake

11/19 03:26, 8年前 , 1^F

11/19 03:26, 1^F

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jack7775kimo

11/19 09:45, 8年前 , 2^F

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jack7775kimo

11/19 09:55, 8年前 , 3^F

11/19 09:55, 3^F