Re: [代數] 高中多項式根與係數

看板Math作者 (Sebastian)時間8年前 (2017/11/08 14:36), 7年前編輯推噓5(5推 0噓 22→)
留言27則, 5人參與, 最新討論串2/2 (看更多)
※ 引述《riemannchen (Riemann)》之銘言： : http://i.imgur.com/LTUGsG3.jpg
: 請教高手這一題 : ----- : Sent from JPTT on my Sony D6653. 作為根與係數的題目，β/α+γ/β+α/γ看似是無解的。 因為他只有輪換對稱性，沒有排列的對稱性。 不過可以注意到： (x^3+2x^2+3x+4)' = 3x^2+4x+3 對實數 x 恆正。 因此，實係數三次方程→一實根、二共軛虛根。 考慮 u = β/α+γ/β+α/γ 與其共軛複數 u' = α/β+γ/α+β/γ。 (假裝 α 和 β 共軛、γ 是實數會比較容易看出來。) 那 u+u' = β/α+γ/β+α/γ+α/β+γ/α+β/γ = (α+β+γ)(αβ+βγ+γα)/αβγ-3 = -3/2 且 u*u' = (β/α+γ/β+α/γ)*(α/β+γ/α+β/γ) = 3+(α^3+β^3+γ^3)/αβγ+(α^-3+β^-3+γ^-3)/(αβγ)^-1 = 59/16 所以 u = (-3+(5√2)i)/4 或 (-3-(5√2)i)/4 大概吧。 根與係數那邊有點煩，不想驗算了，有錯請直說。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1510123008.A.178.html
推
11/08 14:43, , 1F
推作法 我也懶得驗算XD
11/08 14:43, 1F
推
11/08 15:21, , 2F
這高中生可以理解？
11/08 15:21, 2F
→
11/08 15:25, , 3F
數值計算了一次，應該沒錯。
11/08 15:25, 3F
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11/08 15:27, , 4F
判斷實根個數→三下微積分
11/08 15:27, 4F
→
11/08 15:27, , 5F
共軛複數→一上複數
11/08 15:27, 5F
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11/08 15:29, , 6F
根與係數→一上數與式 但這題應用很「繁」。
11/08 15:29, 6F
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11/08 15:29, , 7F
一部一部慢慢做，不急躁，還是可以做出來的。
11/08 15:29, 7F
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11/08 15:29, , 8F
全部都是高中範圍。
11/08 15:29, 8F
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11/08 15:35, , 9F
步 步
11/08 15:35, 9F
推
11/08 15:41, , 10F
謝謝啦
11/08 15:41, 10F
推
11/08 15:48, , 11F
判斷實根個數應該不用到微積分
11/08 15:48, 11F
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11/08 15:49, , 12F
多項式那邊有教勘根定理(雖然沒證)就行了
11/08 15:49, 12F
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11/08 16:09, , 13F
可是不能確定沒有第二個實根啊。其實還可以配方啦，
11/08 16:09, 13F
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11/08 16:11, , 14F
x^3+2x^2+3x+4 = (x+2/3)^3+5/3*(x+2/3)+70/27
11/08 16:11, 14F
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11/08 16:12, , 15F
RHS明顯嚴格遞增，這樣可以繞過微積分。
11/08 16:12, 15F
推
11/08 16:50, , 16F
再次感謝你
11/08 16:50, 16F
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11/08 21:50, , 17F
請問(x+2/3)^3+5/3*(x+2/3)+70/27要怎看出嚴格遞增?
11/08 21:50, 17F
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11/08 21:51, , 18F
喔喔 兩項都是遞增
11/08 21:51, 18F
仔細想想，好像判斷實根個數是多餘的。 因為就算不知道 u' 是 u 的共軛複數，還是可以算出答案來。 (然後就知道 u' 其實是 u 的共軛複數了。 所以三根之中有虛數，故三根一實二虛。) 重點是把對稱式湊滿才好用根與係數。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 11/09/2017 10:32:59
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11/09 10:48, , 19F
可以提供一下解法嗎?我只做出u兩項積的和就是u' 如
11/09 10:48, 19F
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11/09 10:48, , 20F
和看出共軛?
11/09 10:48, 20F
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11/09 11:08, , 21F
u+u'=-3/2, uu'=59/16 這兩條都不需要共軛就能算。
11/09 11:08, 21F
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11/09 11:08, , 22F
解二次方程，出來的兩個數字，一個是u，一個是u'。
11/09 11:08, 22F
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11/09 11:09, , 23F
所以他們共軛。
11/09 11:09, 23F
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11/09 11:15, , 24F
這樣要用到根與係數的關係，到三次方，很繁複
11/09 11:15, 24F
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11/09 11:15, , 25F
原PO要不要貼上來根與係數的簡潔方式?
11/09 11:15, 25F
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11/09 11:21, , 26F
繁複就繁複吧，對稱多項式整理成基本對稱多項式的過
11/09 11:21, 26F
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11/09 11:21, , 27F
程本來就是那樣了。
11/09 11:21, 27F
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 11/27/2018 10:53:32
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