[代數] 虛根成對與有理係數方程式

看板Math作者 (生命中無法承受之輕)時間8年前 (2017/11/08 09:48), 8年前編輯推噓8(8推 0噓 18→)
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設a,b,c,d,為整數，f(x)=2x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+9 若f(x)=0有一虛根為sqrt(2)+i,試求a,b,c,d 我的問題是不在於最後的答案，而是在解這題時使用到的觀念 解法上寫著有一根為sqrt(2)+i, 則由虛根成雙可知有一根為sqrt(2)-i 這我可以理解 但解答上寫著另外兩根是-sqrt(2)+i和-sqrt(2)-i 這就是我的問題 請問依據到底是什麼? 高中教材並未詳細談到無理根成雙這件事 事實上有理係數方程式無理根成雙這件事也不一定對(例如x^3-2=0) 因為正確的敘述是 "有理係數方程式若有一根為a+b*sqrt(c),其中a,b為「有理數」,sqrt(c)為無理數， 則此方程式必存在另一根a-b*sqrt(c)" 我懂這敘述 也很容易可以自己證出來 但回到原題目 另外兩根是-sqrt(2)+i和-sqrt(2)-i的依據是什麼? sqrt(2)+i該算無理根？但他卻是虛根也可以符合這正確的敘述嗎？ 真的困惑了很久，希望有淺顯易懂的解法或是高中生可以聽懂的方式 先謝謝解惑的版友 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.64.53.105 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1510105685.A.A2B.html ※ 編輯: tzhau (203.64.53.105), 11/08/2017 09:49:49
推
11/08 10:03, 8年前 , 1F
沒有依據 虎你的
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11/08 10:04, 8年前 , 2F
你可以輕易地建構出 有根sqrt(2)+i 沒有根-sqrt(2)
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11/08 10:04, 8年前 , 3F
+i 的 f(x) = 2x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+9 形式
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11/08 10:05, 8年前 , 4F
我相信啦 (x-[sqrt(2)+i])(x-[sqrt(2)-i])*x^3*c
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11/08 10:06, 8年前 , 5F
就不會有另外那兩個根了
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推
11/08 10:08, 8年前 , 6F
樓上那會變 (x^2-2*sqrt(2)x+3)*x^3*c 不符原題abcd
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11/08 10:08, 8年前 , 7F
是整數吧
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推
11/08 10:21, 8年前 , 8F
Irrational Conjugate Roots Theorem
11/08 10:21, 8F
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11/08 10:23, 8年前 , 9F
若p(x) 為有理係數多項式，a+b*sqrt(c) 為p(x)的根
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11/08 10:23, 8年前 , 10F
其中 a,b 是有理數，sqrt(c)為無理數，
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11/08 10:24, 8年前 , 11F
則a-b*sqrt(c)也會是根
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11/08 10:27, 8年前 , 12F
樓上看懂在問什麼嗎?這個理論原PO有說啊
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11/08 10:27, 8年前 , 13F
問題是i+sqrt(2)不符合定理中要求的a是有理數
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推
11/08 10:32, 8年前 , 14F
11/08 10:32, 14F
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11/08 10:33, 8年前 , 15F
從證明來看 gaussian rational 應該也適用
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11/08 11:13, 8年前 , 16F
真的有這種RULE嗎?五次方根沒有公式解 可以亂七八糟
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11/08 11:17, 8年前 , 17F
也不見得解都是根號，有可能五次方根
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推
11/08 11:34, 8年前 , 18F
兩個根已經確定了 理論上可以分解成二次式和三次式
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11/08 11:35, 8年前 , 19F
的乘積 而三次式有公式解但我想不是本題重點
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推
11/08 11:58, 8年前 , 20F
用因式的角度去看這件事
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推
11/08 12:33, 8年前 , 21F
Q(i)[√2]這樣的域擴張，或者直接跑一次成雙定理的
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11/08 12:39, 8年前 , 22F
證明。定理：「布於Q(i)的多項式，其二次無理根必共
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11/08 12:40, 8年前 , 23F
軛成雙。」其中Q(i)=Q+Qi。
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推
11/08 13:09, 8年前 , 24F
f(x) in F[x], a, b in F
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11/08 13:09, 8年前 , 25F
則 f(a+bc) = 0 => f(a-bc) = 0
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11/08 13:10, 8年前 , 26F
iff c not in F, c^2 in F
11/08 13:10, 26F
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文章代碼(AID): #1Q0c9Leh (Math)
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