Re: [微積] 想請教這個速解的證明
: 速解法那邊
令f(x)=P(x)/Q(x) , 其中P,Q都是實多項式
則我們只要考慮deg P = deg Q + 1 的case，因為：
(1) deg P < deg Q：f(x)→0 as x→inf
(2) deg P = deg Q：f(x)→[deg P]/[deg Q] as x→inf
(3) deg P > deg Q +1：不可能存在m,b使得 f(x)-(mx+b)→ 0 as x→inf
因為 f(x)-(mx+b) = [P(x)-(mx+b)Q(x)]/Q(x)
且分子的最高次數比分母的最高次數大
回到 deg P = deg Q + 1
令 P(x) = a_(n+1)x^(n+1) + .... + a_0
Q(x) = b_nx^n + ... + b_0
由定義，lim_{x→inf} [f(x)-(mx+b)] = 0
<=> lim_{x→inf} [P(x)-(mx+b)Q(x)]/Q(x) = 0 -- (●)
而 (mx+b)Q(x) = m*b_n x^(n+1) + (m*b_(n-1)+b*b_n) x^n + ...
對(●)同除以x^n
(●)<=> lim_{x→inf} [a_(n+1)x + a_n - (m*b_n x + m*b_(n-1) + b*b_n]/b_n = 0
因此藉由比較係數
a_(n+1) = m*b_n
a_n = m*b_(n-1) + b*b_n
所以 m = a_(n+1)/b_n = P的領導係數/Q的領導係數
b = [a_n - m*b_(n-1)]/b_n = [P的次項係數 - m*Q的次項係數]/Q的領導係數
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10/03 10:27, , 1F
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