[分析] 證明正函數若可積，則積分大於零。

看板Math作者 (大叔)時間6年前 (2017/08/16 08:48), 6年前編輯推噓5(5推 0噓 8→)
留言13則, 4人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
老實說，標題內的命題我不確定對不對，只是憑著積分與面積的連結寫下的， 現在想用小Rudin的第六章證明為真，也就是用Darboux積分，但目前只能 得到upper integral、lower integral都不小於零，搜尋math.stackexchange 看到有人用Lebesgue的東西(almost everywhere之類的)，這真的要用到 這個嗎?我知道函數可積的話，它在連續這件事情上不能做的太糟(事實上，我想避開它 ，不去用後面的東西)，但難道不能只用 1.函數值為正(連連續什麼的都不特別講) 2.sup、inf 這兩樣單單純純的去比大小、跟它尬到底嗎?請賜教，謝謝! 註:原PO只看過大一微積分+小Rudin前六章(目前看到6.13 Theorem) ※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 08/16/2017 09:13:56
推
08/16 10:16, , 1F
標題的命題不是積分定義弄一弄就出來了嗎?
08/16 10:16, 1F
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08/16 10:18, , 2F
因為可積，所以任意分割的上和極限等於下和極限
08/16 10:18, 2F
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08/16 10:19, , 3F
且極限存在，然後計算上和極限或下和極，發現大於0
08/16 10:19, 3F
推
08/16 10:28, , 4F
直接證上和吧 既然是正函數 下和不好說 上和肯定大
08/16 10:28, 4F
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08/16 10:32, , 5F
如果正函數是指所謂非負 那其實有可能真的積分是0
08/16 10:32, 5F
這邊指的是strictly positive，不是non-negative
推
08/16 10:33, , 6F
在 domain 抓個測度大於 0 的 compact set
08/16 10:33, 6F
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08/16 10:38, , 7F
啊...不用那麼麻煩, 但要估的應該是下和
08/16 10:38, 7F
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08/16 10:45, , 8F
某個下和>0, 就完工了
08/16 10:45, 8F
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08/16 11:38, , 9F
啊 對 應該是下和...
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08/16 11:39, , 10F
可是還是弄不出來, 想到簡單的方法都是測度來的...
08/16 11:39, 10F
※ 編輯: cyt147 (140.122.140.36), 08/16/2017 11:58:41
推
08/16 13:29, , 11F
抓某個區間的下和>0 應該就可以了 因為原函數>=0
08/16 13:29, 11F
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08/16 13:30, , 12F
所以說inf會>=0 這樣的話只要有一個>0就可以了
08/16 13:30, 12F
推
08/16 14:23, , 13F
打錯 第一行是 原函數>0 (過好久才發現...
08/16 14:23, 13F
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