Re: [代數] 多項式
※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: f為複數多項式, R(f):={z in C: f(z) = 0}, ex: R(z^2+1) = {i, -i}, R(z^2) = {0}.
: 現在已知兩複數多項式f和g滿足 R(f) = R(g) 和 R(f+1) = R(g+1), 試證明f=g.
f 的 k重根 <==> f' 的 k-1重根
f+1 的 k重根 <==> f' 的 k-1重根
令重根次數 m(f) = sum (k_i-1), 對所有 k_i重根加總
則顯然 deg f = |R(f)| + m(f)
以及 deg f' >= m(f) + m(f+1) (因為 f 和 f+1 不會有一樣的重根)
因此 |R(f)| + |R(f+1)| (f 和 f+1 不會有一樣的根)
= 2degf - m(f) - m(f+1) >= 2degf - deg f' = deg f + 1
by Lagrange formula, there exists unique poly deg <= |R(f)| + |R(f+1)|
satisfied f(z) = 0 for all z in R(f)
and f(y) = -1 for all y in R(f+1)
現在 f 和 g 都符合條件 所以 f = that unique poly = g
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嗯嗯ow o
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