Re: [分析] 黎曼積分的MCT到BCT

看板Math作者LimSinE (r=e^theta)時間7年前 (2017/05/21 14:58)推噓4(4推 0噓 14→)

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保留定理內容：【MCT】 if f_n↘0 on [a,b] and f_n(x) is Riemann integrable on [a,b] for all n b then lim ∫ f_n(x) dx = 0 n→∞ a 【BCT】又稱為Arzela's Dominated Convergence Theorem if f_n→f on [a,b] and f_n(x), f(x) are Riemann integrable on [a,b] for all n and │f_n(x)│≦ M for all x and n b b then lim ∫ f_n(x) dx = ∫ f(x) dx n→∞ a a 【MCT of Lower Darboux Integral】 if f_n↘0 on [a,b] and f_n(x) is bounded on [a,b] for all n (不用一致有界) b then lim ∫ f_n(x) dx = 0 n→∞ ￣a 我們來證明 MCT => MCT of Lower Darboux Integral 取gn<=fn 為step function 使得 fn之下積分 <= 積分 gn + epsilon_n 其中epsilon_n >0 待定。定義 hn = min{g1,...,gn} 則利用恆等式 min{a,b}= a+b - max{a,b} 得 fn - hn = fn - gn + [max{h(n-1),gn}- h(n-1)] 兩邊取下積分下積分 fn - 積分hn = 下積分fn - 積分 gn + [積分 max{h(n-1),gn}-積分 h(n-1)] <= epsilon_n + [積分 max{h(n-1),gn} - 積分h(n-1)] <= epsilon_n + [下積分 f(n-1) - 積分 h(n-1)] <=...(歸納法) <= epsilon_n+epsilon_(n-1)+...+epsilon_1 < epsilson (本段修正，要這樣估計才可以) 最後一個不等號只要取 epsilon_n = epsilon/2^n 即可。我們得到下積分 fn<= 積分hn + epsilon 由構造可得 hn可積分且遞減至0，可使用MCT limsup 下積分fn<= epsilon 上式對任意epsilon>0均成立，故lim 下積分 fn=0。 -- 中最連緊閉開值大通緻集集在最到映返返中小連緊閉開間值通緻集集。，。，；， -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.183.172 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1495349907.A.A23.html

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