Re: [分析] Sobolev inequality 證明問題
前文恕刪
假設 domain 是 R^n, 關於 W^{1, n} 嵌入 L^q, for any q in [n, ∞),
可以考慮這樣做:
沿用 Evans 書上 GNS ineq 的證明 (假設 u 在 C^1, cpt supp 這個
dense subset 裡面, bla bla...), 可以得到(13)這個式子:
1/n
|| u || ≦ Π || Du ||
L^n/(n-1) L^1
然後像(14)那樣, 把上式的 u 換成 |u|^γ, 右邊用 Holder ineq,
乘積部分整裡一下可以得到
γ γ-1
|| u || ≦ γ || u || || Du ||
L^[γn/(n-1)] L^[p'(γ-1)] L^p
現在取 p = n, 右邊用 Young's ineq, 就變成
|| u || ≦ C {|| u || + || Du || }
L^[γn/(n-1)] L^[n(γ-1)/(n-1)] L^n
再取 γ= n, 最後得到
|| u || ≦ C || u ||
L^[n*n/(n-1)] W^{1,n}
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假設 W^{1,n} 嵌入到 L^q, 現在來考慮 q 的範圍 :
如果 n ≦ q ≦ n*n/(n-1), 從 Lp-norm 的 interpolation 可以導出
|| u || ≦ C || u ||
L^q W^{1,n}
看起來 q 最大值只有到 n*n/(n-1), 但其實還可以往上提升,
只要我們代入 γ= n+1, γ= n+2,..., γ= n+k, 就會發現
對任意自然數k, 我們有
|| u || ≦ C || u ||
L^[(n+k)*n/(n-1)] W^{1,n}
所以最終 q 的範圍是 [n, ∞)
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