[分析] Sobolev inequality 證明問題

看板Math作者 (柊 四千)時間8年前 (2017/04/03 22:25), 8年前編輯推噓1(1推 0噓 21→)
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最近在讀 Sobolev space 對於書上某一步的證明有疑惑 上來數學板請教 先貼出書上的定理與證明 http://i.imgur.com/ATMEDfd.png
http://i.imgur.com/Z3mssiZ.png
第271頁的第3點 也就是考慮 k > n/p 且 n/p 是整數的情形 我可以理解為什麼 u 在 W^{k-(n/p)+1, n}(U) 裡面 但下一步我就看不懂了 因為作者這邊寫的 GNS inequality 和他前面介紹過的不一樣 Google 過 GNS inequality 只找到 W^{1, p} (p < n) embedded in L^{p*} 的版本 也沒有找到 W^{1, n} 可以 embed 到其他 L^q 空間的定理 另外 我也沒有 google 到 n/p 是整數時的證明 請問這邊作者是偷偷開了什麼神秘的定理嗎? -- 作者 lifepass (乖乖) 看板 Gossiping 標題 [問卦] 路上正妹到底有幾個是偽娘 時間 Thu Apr 30 20:49:26 2015 ───────────────────────────────────────
推
04/30 20:56,
其實他們都是男的 不信你摸摸看
04/30 20:56
推
04/30 21:00,
薛丁格的gg
04/30 21:00
-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.217.248.3 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1491229532.A.0BE.html
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04/04 01:25, , 1F
當 k < n/p, GNS ineq 的功能在於消耗u的微分度
04/04 01:25, 1F
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04/04 01:25, , 2F
讓u可以嵌入到積分度更高的空間(L^q)
04/04 01:25, 2F
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04/04 01:26, , 3F
假設u用掉α個微分度之後, 落在 W^{k', p'},
04/04 01:26, 3F
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04/04 01:28, , 4F
並且有 k' > n/p', 此時就可以用 Morrey ineq
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04/04 01:28, , 5F
使 u 嵌入 C^{k'-1, γ}
04/04 01:28, 5F
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04/04 01:32, , 6F
總之, 只要函數微分度夠高, 就能透過這兩個不等式
04/04 01:32, 6F
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04/04 01:32, , 7F
嵌入到C^k
04/04 01:32, 7F
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04/04 04:11, , 8F
另外 W^{1, n}嵌入到 L^q, n <= q < ∞,
04/04 04:11, 8F
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04/04 04:14, , 9F
用書上 GNS ineq 的做法 + interpolation 即可證明
04/04 04:14, 9F
interpolation是指W^{1, n}可以放到L^∞ 然後再夾出L^q? 可是W^{1, n}不在L^∞裡耶?
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04/04 04:19, , 10F
最後, n/p 是否為整數其實不重要, 因為後面會講到
04/04 04:19, 10F
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04/04 04:20, , 11F
分數次微分是什麼 以及如何定義
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※ 編輯: xavier13540 (1.200.43.37), 04/04/2017 17:39:05 ※ 編輯: xavier13540 (1.200.43.37), 04/04/2017 17:44:22
推
04/04 21:30, , 12F
用 wiki GNS 的記號, 最後會得出
04/04 21:30, 12F
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04/04 21:31, , 13F
1/q = (j-m\alpha+1)/n, j/m<=\alpha<=1 這個條件
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04/04 21:31, , 14F
(這裡的\alpha是wiki的,不是書上的)
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04/04 21:32, , 15F
注意到 \alpha 是可以自訂的, 而 ∞>q>=n 和
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j<=k-\ell-1 的確是可以調整出來的.
04/04 21:33, 16F
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甚至 m 也可以調整, 因為書上是設 u 屬於
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04/04 21:34, , 18F
W^{k-\ell,n}, 所以 m <= k-\ell 都可以
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可以說自由度還滿大的. 也許你可以把你熟悉的記號
04/04 21:35, 19F
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寫出來, 可以試著幫忙化簡看看.
04/04 21:35, 20F
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04/04 21:37, , 21F
另外, 他 k-\ell-1 會 -1 應該是為了後面的
04/04 21:37, 21F
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04/04 21:38, , 22F
Morrey's ineq. 需要再多一次微分.
04/04 21:38, 22F
我知道了 其實這個根本沒有這麼複雜 注意 U 是有界的 如果 u \in W^{1, n}(U) 則對於所有的 p < n 都有 u \in W^{1, p}(U) 而且用 Holder's ineq 可以證明這個 embedding 是 bounded 的 然後 1/(p*) = 1/p - 1/n 可以盡量小 用 GNS ineq 和 interpolation 我們有 u \in W^{1, q} for all q \in [1, \infty) _(:3」∠)_ ※ 編輯: xavier13540 (1.200.43.37), 04/04/2017 22:09:35
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