Re: [微積] 高斯函數

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間8年前 (2017/03/23 14:53)推噓0(0推 0噓 18→)

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※ 引述《semmy214 (黃小六)》之銘言： : http://imgur.com/a/pzxQX : 這題的話我是上下微分 : 但次方還有高斯不知怎處理 : 求詳解 1. ┌ ┐^(cotx) │ sinx │ lim │───│ = 0 x→0+ │ x │ └ ┘ <pf> 那個次方只是讓你覺得很複雜騙你放棄而已關鍵在(sinx/x)的觀察，我們都知道當x→0+時他是趨近於1，那到底比1大還是小令f(x) = sinx - x , x>0 可以證明出sinx < x for all x > 0 因此0 < sinx/x < 1 , for all 0<x<π 即得[sinx/x] ≡ 0 for all 0<x<π 2. ┌ ┐^n │ sin(n) │ lim │────│ doesn't exist n→∞ │ n │ └ ┘ <pf> 雖然當n趨近於無限大時，sin(n)/n趨近於0 但若sin(n)/n是正的會導致[sin(n)/n]^n = 0 sin(n)/n是負的會導致[sin(n)/n]^n =(-1)^n 所以接著就是嚴格證明他真的不存在這邊要用到這個性質：{sin(n):n€N} is dense in [-1,1] 取r=-0.5，由那個性質我們得到a_n = sin(n)的子列 a_n_j，收斂到r=-0.5 如此一來 -1 < sin(a_n_j) / a_n_j < 0 for large j 因此[sin(a_n_j) / a_n_j] ≡ -1 for large j 得到[sin(a_n_j) / a_n_j]^(n_j) = (-1)^(n_j) 這個結果貌似對1與-1無限次取值，因而子列不存在極限值故原數列發散但可能n_j恆是偶數或是奇數也說不定我也沒辦法保證只好再取另一個子列確保原數列是發散的，如下取r= 0.5，由那個性質我們得到a_n = sin(n)的子列 a_m_j，收斂到r= 0.5 如此一來 0 < sin(a_m_j) / a_m_j < 1 for large j 因此[sin(a_m_j) / a_m_j] ≡ 0 for large j 得到[sin(a_m_j) / a_m_j]^(m_j) ≡ 0 綜合以上，假設原數列收斂到L 因為子列[sin(a_m_j) / a_m_j]^(m_j) 收斂到0，所以L=0 則另外子列[sin(a_n_j) / a_n_j]^(n_j) 也會收斂到0，矛盾！因為此子列不是1,-1亂跳就是收斂到1或是-1 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.239.97 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1490252026.A.FA8.html ※ 編輯: znmkhxrw (111.255.239.97), 03/23/2017 14:55:53

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Desperato

03/23 15:10, , 1^F

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Desperato

03/23 15:11, , 2^F

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yyc2008

03/23 15:42, , 3^F

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