[其他] 兩個週期函數疊加一定是週期函數嗎

看板Math作者 (銘銘)時間7年前 (2017/03/08 22:20), 7年前編輯推噓9(9推 0噓 22→)
留言31則, 8人參與, 最新討論串1/1
如題 兩個週期函數相加一定是週期函數嗎 直覺上好像是這樣 但是像 cos(x)+cos(x根號2) 這個一直找不到他的週期 如果他是週期函數又要怎麼求週期 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.244.233 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1488982820.A.C71.html
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03/08 23:38, , 1F
試試看分類成 兩個週期相除後是有理數 跟 無理數
03/08 23:38, 1F
※ 編輯: Mingming1258 (140.112.244.233), 03/08/2017 23:52:48
推
03/08 23:59, , 2F
你google 關鍵字"sum periodic functions"就有了
03/08 23:59, 2F
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03/09 00:00, , 3F
這邊強調個幾點
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03/09 00:00, , 4F
1.非常數且至少有一連續點的週期函數必有最小週期
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03/09 00:01, , 5F
2.設a,b分別是f與g的週期且a/b是有理數，那f+g也會
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03/09 00:02, , 6F
是週期函數with period aq=bp (a/b=p/q)
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03/09 00:02, , 7F
但是切記aq=bp不一定是f+g的最小週期
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03/09 00:03, , 8F
3.(你的問題)設a,b分別是f與g的週期且f+g也是週期
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03/09 00:04, , 9F
函數,更假設"f,g皆非常數而且是連續函數" 則a/b有理
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03/09 00:06, , 10F
你這個case,cosx 週期2pi cos(2^0.5x) 週期2^0.5pi
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03/09 00:07, , 11F
且兩者都是連續非常數函數 因此by3.會得到2^0.5有理
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03/09 00:07, , 12F
矛盾! 所以cos(x)+cos(x根號2)不會是週期函數
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03/09 01:10, , 13F
thx
03/09 01:10, 13F
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03/09 01:14, , 14F
所以週期函數疊加不一定是週期函數阿..有點難接受XD
03/09 01:14, 14F
推
03/09 09:55, , 15F
為什麼會很難接受呢？無理數就是因為無法公度才稱
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03/09 09:56, , 16F
為無理數啊，所以這樣的結論也很容易理解啊
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推
03/09 10:22, , 17F
無理數和有理數沒有最小公倍數 所以疊不出新週期
03/09 10:22, 17F
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03/09 10:23, , 18F
如果今天是cos(px)+cos(qx) p,q有理數 就有新週期
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推
03/09 12:21, , 19F
想問一下，那如果是週期√2和週期√3的週期函數相加
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03/09 12:21, , 20F
是否為週期函數？
03/09 12:21, 20F
推
03/09 15:06, , 21F
應該不是，因為無法找到符合√2a=√3b的整數a與b
03/09 15:06, 21F
推
03/09 21:47, , 22F
就還是照上面的結果, a/b 要是有理數, √2/√3 不是
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推
03/10 14:13, , 23F
我知道週期比是有理數的話，那相加會是週期函數，
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03/10 14:13, , 24F
但若不是有理數就一定不是周期函數嗎？所以這是充
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份必要條件？
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03/10 15:17, , 26F
是充必沒錯 但是要基於連續非常數函數
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推
03/10 19:01, , 27F
那有不連續的函數，週期為√2、√3，且和為週週函
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03/10 19:01, , 28F
數的例子嗎？
03/10 19:01, 28F
推
03/10 21:23, , 29F
我覺得從直觀的角度就很容易理解，假設自變數為時間
03/10 21:23, 29F
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03/10 21:26, , 30F
週期a表示經過a整數倍的時間才會重複，同理週期b的
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03/10 21:27, , 31F
也是，二者相加之週期是a整數倍＝b整數倍
03/10 21:27, 31F
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