Re: [微積] 環狀體的部分表面積求解
: 想請問塗色面積沿X軸旋轉後的表面積要怎麼算？
: 圖可能有點不清楚
: 實際上有點像是甜甜圈從中間被剖一刀的感覺
: 右上是該弧形的相關數值
: 查過網路上的資料但大部分都是體積的算法
: 希望有神人可以指點方向 謝謝！
a = 3.338
R = 3.538
k = 2.035
垂直部分旋轉的表面積顯然是
= π{[k + √(R^2 - a^2)]^2 - [k - √(R^2 - a^2)]^2}
= 4πk√(R^2 - a^2)
弧長部分
y = k +- √[R^2 - x^2]
y' = -+ x/√[R^2 - x^2]
以y = k切成上下兩部份(-表示下半部)
R
∫ 2π{k +- √[R^2 - x^2]} R / √[R^2 - x^2] dx
a
R
= ∫2πkR/√[R^2 - x^2] dx +- 2πR[R - a]
a
= 2πkR[π/2 - arcsin(a/R)] +- 2πR[R - a]
所以把三者相加
S = 4πk√(R^2 - a^2) + 4πkR[π/2 - arcsin(a/R)]
= 4πk√(R^2 - a^2) + 2kR(π^2) - 4πka
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推
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