[分析] 一題均勻收斂

看板Math作者 (QQ)時間9年前 (2017/01/03 01:02), 9年前編輯推噓3(3推 0噓 24→)
留言27則, 4人參與, 最新討論串2/2 (看更多)
快一週前在FB數學社團有看到一個問題： if f_n€C^1[a,b]→R f_n→f pointwisely │f_n'│<=M for all n, x then f_n→f uniformly ----------------------------- 試做了幾個方向湊不出來@@ 記得有幾個人回應用Mean value theorem 還有人說不能直接對f_n做之類的 總之試不出來XD 再來就是觀察"f_n→f pointwisely"這個前提是需要的 沒有會有反例 只是就不知道要用什麼手法讓"│f_n'│<=M"這個條件影響f_n的均勻收斂性 謝謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.238.169 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1483376553.A.C1D.html
推
01/03 01:28, , 1F
應該是說不能對 f 直接做?用 Cauchy criterion 可解
01/03 01:28, 1F
→
01/03 01:35, , 2F
bounded convergence thm + Rudin 7.17 thm
01/03 01:35, 2F
推
01/03 01:36, , 3F
首先把區間均勻細分, 用 MVT 可讓 |f_m(x)-f_m(y)|
01/03 01:36, 3F
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01/03 01:37, , 4F
(當 x,y 夠靠近) 然後拆成 |f_m(x)-f_m(y_i)| +
01/03 01:37, 4F
→
01/03 01:37, , 5F
|f_m(y_i)-f_n(y_i)| + |f_n(y_i)-f_n(x)|
01/03 01:37, 5F
→
01/03 01:38, , 6F
y_i 是細分點
01/03 01:38, 6F
推
01/03 01:40, , 7F
上面漏字 *可讓 |f_m(x)-f_m(y)| 均勻地小
01/03 01:40, 7F
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01/03 01:54, , 8F
對不起我亂講 用樓上的三角不等式就好了
01/03 01:54, 8F
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01/03 02:00, , 9F
細分點y_i不會跟x有關嗎?? Cauchy是不是沒用到f_n逐
01/03 02:00, 9F
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01/03 02:00, , 10F
點收斂這個條件??
01/03 02:00, 10F
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01/03 02:01, , 11F
像是f_n(x)=(-1)^n 他是C^1而且微分恆為0 但是不均
01/03 02:01, 11F
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01/03 02:01, , 12F
勻收斂因為逐點根本沒收斂了
01/03 02:01, 12F
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01/03 02:04, , 13F
是有關沒錯 但我們只是需要 |x-y_i| 很小
01/03 02:04, 13F
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01/03 02:06, , 14F
逐點收斂用在 |f_m(y_i)-f_n(y_i)| 這項
01/03 02:06, 14F
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01/03 02:12, , 15F
細分點要夠多以讓任意 x 都有 y_i 使 |x-y_i| 夠小
01/03 02:12, 15F
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01/03 02:15, , 16F
然後我們只需找夠大的 m,n
01/03 02:15, 16F
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01/03 02:17, , 17F
讓 y_i 那有限個點 |f_m(y_i)-f_n(y_i)| 都很小
01/03 02:17, 17F
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01/03 02:21, , 18F
(應該說限定 m,n 夠大)
01/03 02:21, 18F
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01/03 12:23, , 19F
|f_n'|<=M for all n, x => equi-continuous
01/03 12:23, 19F
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01/03 12:24, , 20F
equi-continuous + pointwise con => unif conv
01/03 12:24, 20F
謝謝ar跟NN大 ar大就是在處理NN大說的equiconti的部分 看懂了 感謝~ ※ 編輯: znmkhxrw (111.255.235.105), 01/03/2017 15:16:59
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01/03 16:16, , 21F
一開始沒想到MVT, 因為對 |f_n'|<=M 兩邊積分 =>
01/03 16:16, 21F
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01/03 16:18, , 22F
|f_n(y)-f_n(x)| <= ∫|f_n'| <= M|x-y|
01/03 16:18, 22F
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01/03 16:25, , 23F
所以f_n有equi-conti, 然後按ar大的方法做
01/03 16:25, 23F
對呀 所以f_n€C^1根本是假議題XD 只要可微就好了 只是一開始我不懂ar大的細分點y_i到底怎麼取的 後來用你的關鍵字去google才知道y_i就是從euqicontinuous的delta配上compact取來的
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01/03 16:48, , 24F
NN大的第一個=>就是MVT那部分, 我後面那一大串
01/03 16:48, 24F
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01/03 16:48, , 25F
就是第二個=>的證明, 所以基本上是一樣的事XD
01/03 16:48, 25F
對了 網路上有人說domain只要totally bounded就可以了 不需要compact 我run一次證明似乎是這樣 因為他是用delta去取有限個點 這代表如果是R中的open interval也是成立的?? 只是看到其他資料都是說 compact 應該totally bdd.就可以了吧@@? ※ 編輯: znmkhxrw (111.255.235.105), 01/03/2017 16:59:38
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01/03 17:09, , 26F
跟你同樣看法~
01/03 17:09, 26F
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01/03 18:02, , 27F
(^_^)/~~
01/03 18:02, 27F
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文章代碼(AID): #1OQeUfmT (Math)
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