[機統]聯合常態pdf獨立性的證明?

看板Math作者 (不是一就是二)時間9年前 (2017/01/01 20:01), 編輯推噓4(4推 0噓 32→)
留言36則, 6人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
假設 X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2) S=aX+bY,T=cX+dY 只要cov(S,T)=0 則S和T獨立 _____________________________________________________ 以上問題小弟想了很久還是不知道要怎麼證明? 一開始我是想只要證明 S和T的聯合p.d.f是二元常態分配 再套用cov(S,T)=0,就可以把聯合p.d.f 拆成S的函數和T的函數相乘 就說明了S和T獨立 但後來發現S和T的聯合p.d.f未必是二元常態分配 因此此路不通 求高手證明,謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.224.34.194 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1483272067.A.8BF.html
推
01/01 20:47, , 1F
Jacobian
01/01 20:47, 1F
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01/01 21:29, , 2F
若X⊥Y，則S跟T皆為常態，兩個常態間不相關則獨立
01/01 21:29, 2F
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01/01 22:59, , 3F
對了~忘了假設X.Y獨立,感謝m大提醒
01/01 22:59, 3F
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01/01 23:01, , 4F
cov=0,未必獨立,但在常態下成立,有相關的證明嗎?謝~
01/01 23:01, 4F
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01/02 00:32, , 5F
這最基本的東西隨便哪本教科書都有
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01/02 18:07, , 6F
我也跟原po有一樣的問題，我不認為他是簡單的
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01/02 18:07, , 7F
首先回覆 1. Jacobin法的疑問
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01/02 18:09, , 8F
X Y 關係未知，要如何做出 joint pdf 呢
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01/02 18:09, , 9F
沒有 joint pdf 無法進行二轉一變數變換
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2. 如果翻一般的教科書大部分只有提到以下敘述
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在二維常態分配中，X Y 邊際必為常態
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(接續) 若 Cov(X,Y)=0 則 X Y 獨立
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這個條件的前提是 X Y joint 要是二維常態分配
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01/02 18:21, , 14F
更正是 Jacobian 少打一個a
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推
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結合高斯 不相關可推出獨立
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證明 把joint pdf相關係數代0 會等於各自pdf相乘
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01/03 00:23, , 17F
回s大,我和別人討論過了,用變數變換找出s和t的聯合
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01/03 00:24, , 18F
p.d.f後,之後就直接應幹,拆成s的函數和t的函數相乘
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說明獨立,過程中沒用到cov=0的條件XD
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01/03 00:27, , 20F
不知cov=0的條件,出現在哪?請s大指點迷津
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推
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用mgf比較好證
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只要（X,Y)是二元常態
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（S,T)就會是二元常態
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也就是你命題不夠完整
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如果不知道（S,T)的結合分配情形 當然也就無法判斷
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會不會獨立
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推
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X,Y獨立時 結合起來當然會是二元常態 （S,T）也跟
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著是二元常態 但其實X,Y獨立非必要 只要結合起來是
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二元常態即可
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01/03 23:34, , 30F
謝謝g大~所以我只需證明(X,Y)是二元常態=>（S,T)
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也會是二元常態即可
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@ck6fuz516 Cov=0 的條件就在 joint(X,Y)中
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01/03 23:43, , 33F
如同goshfju 所述，不知道(X,Y)的結合關係
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01/03 23:44, , 34F
是不可能求出 join (X,Y)的
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01/04 00:13, , 35F
joint
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01/04 00:55, , 36F
謝謝大家的回答~
01/04 00:55, 36F
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文章代碼(AID): #1OQE-3Y_ (Math)
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