Re: [其他] 連乘求極限

看板Math作者RicciCurvatu (黎奇曲率5566)時間9年前 (2016/12/29 21:55)推噓0(0推 0噓 14→)

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※ 引述《OppOops (Oops)》之銘言： : 有一個題目是這樣描述: : A_k,B_k分別是a_i, b_i的連乘, 並且每次項數增長一倍, : A_k+1的後半段是由B_k每項位移2^(k+2)後連乘, 同理, : B_k+1的後半段是由A_k每項位移2^(k+2)後連乘: : A_0 = 2*3 B_0 = 1*4 : A_1 = 2*3*5*8 = Πai B_1 = 1*4*6*7 = Πbi : A_2 = A_1 * (b1+8)(b2+8)(b3+8)(b4+8) : = A_1 * (1+8)*(4+8)*(6+8)*(7+8) : B_2 = B_1 * (a1+8)(a2+8)(a3+8)(b4+8) : = B_1 * (2+8)*(3+8)*(5+8)*(8+8) : 所以一般式為: : 2^k : A_k = A_k-1 * Π (bi + 2^(k+1)) : i=1 : 2^k : B_k = B_k-1 * Π (ai + 2^(k+1)) : i=1 : 試求 C_k = A_k / B_k, 當 k->∞, lim C_k 為何. : 我已經算出來的部分是 A_k * B_k = n! , n = 2^(k+1) : 試著用stirling之類的估計upper bound, lower bound : 都沒辦法得到有意義的結果, 範圍都是0到正無限大 : 想請問版上大神有沒有想法或Hint可以給我, 謝謝各位. : (有說法會趨近於1, 但不能確定) 觀察一下乘數裡的奇偶數分佈，令A=a奇相乘*a偶相乘 B=b奇相乘*b偶相乘不難發現 a奇+1=b偶 a偶-1=b奇所以A=(b偶-1)相乘*(b奇+1)相乘 A/B=1+1/(b奇相乘)-1/(b偶相乘)-1/B 顯然趨於1 ----- Sent from JPTT on my Asus ASUS_T00G. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.72.80.122 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1483019719.A.828.html

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OppOops

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OppOops

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