Re: [中學] 長得有點像特徵型式的矩陣

看板Math作者OppOops (Oops)時間9年前 (2016/12/27 16:48)推噓1(1推 0噓 6→)

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※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言： : ※ 引述《BanPeeBan (踢屁屁)》之銘言： : : 直接上圖 : : http://i.imgur.com/Wm3YegQ.png

: : 想過用特徵函數去反推 : : 不過因為是2*2不是1*1 腦袋就打結了@@ : det(A - λI) = 0 => λ = 2, 5 : A = Q^(-1) D[2,5] Q : Q你應該要會求 : A^(n+1) - 2A^n = α[A - 2I] : => D[2^(n+1) - 2*2^n, 5^(n+1) - 2*5^n] = αD[0, 3] : => α = 5^n : A^(n+1) - 5A^n = β[A - 5I] : => D[2^(n+1) - 5*2^n, 5^(n+1) - 5*5^n] = βD[-3, 0] : => β = 2^n : A^n = Q^(-1)D[2^n, 5^n]Q 賺個P幣, A-2I = [ u1 u2 ] A-5I = [ v1 v2 ] 由第一式, A^n * [ u1 u2 ] = α [ u1 u2 ] 得 A^n * u1 = α*u1, 並且 u1 = c1 * u2 = u 同理, A^n * v1 = β*v1, 並且 v1 = c2 * v2 = v 所以 u,v 是 A^n 的特徵向量, α,β為其特徵值又 A^n * u = A^(n-1) * (A * u) = A^(n-2) * A * (λu) = (λ^n) * u 對所有A特徵值為λ, 向量u成立所以得α=5^n, β=2^n Remark: 看起來由cuttlefish所說, 用Cayley-Hamilton Thm:(A-2I)(A-5I)=0, 似乎都可以拆, 不過代數重數為2以上不清楚應該怎麼拆(?) 如果這個題目不能對角化, 可能要算Jordan Form才能得到A^n一般式 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.90.226 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1482828533.A.181.html

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Honor1984

12/27 16:54, , 1^F

12/27 16:54, 1^F

推

Honor1984

12/27 16:57, , 2^F

12/27 16:57, 2^F

修正一下, 感謝

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OppOops

12/27 16:57, , 3^F