[中學] 為什麼y=3^x比y=2^x陡？

看板Math作者 (悟道修行者)時間7年前 (2016/12/22 23:08), 7年前編輯推噓7(7推 0噓 46→)
留言53則, 14人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
高中數學學過 指數函數的圖形 y=3^x 比 y=2^x 陡 當時我聽到的說法是: 就代一些點進去看看, 好比 2^2 vs 3^2 (後者大) 2^3 vs 3^3 (後者大) 2^4 vs 3^4 (後者大) 2^5 vs 3^5 (後者大) ....... (以此類推, x<0也是以此類推) 因此 y=3^x的圖形比y=2^x的陡 但這些都只有代"整數點"而已 怎麼知道在其他有理數點或無理數點也是如此? 在高中數學有的工具裡面 能講清楚這件事嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.141.112.34 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1482419320.A.451.html ※ 編輯: alfadick (220.141.112.34), 12/22/2016 23:09:03
推
12/22 23:19, , 1F
斜率的意義是(y2-y1)/(x2-x1)
12/22 23:19, 1F
對 我知道 我的陡指的是曲線更貼近兩軸 你有答等於沒答
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12/23 00:21, , 2F
(1)微積分 (2)3^x / 2^x 遞增
12/23 00:21, 2F
我要問高中方法 因為可能高中生會問 如果高中階段"確定"不能證 那我就會跟他說不能證 你說 3^x/2^x 遞增是啥意思? 第一你怎證它遞增? 高中方法嗎? 第二如果它遞增 又能說明我所問的嗎? 所謂 3^x/2^x 遞增 是它"越來越大" 可能x很大之後 分母相對分子很小 分子相對分母很大 你也不能說明它從頭到尾分母大還是分子大阿....
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12/23 00:22, , 3F
3^x>2^x when x>0
12/23 00:22, 3F
你只是把我的問題重講一遍 有答等於沒答
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12/23 00:48, , 4F
3^x/2^x = (1.5)^x > 1 if x>0
12/23 00:48, 4F
這好像說得通 可以接受 但這證明有點ad hoc 不是那麼直接 有沒有再更直接的說法?
推
12/23 01:04, , 5F
令t = log(y); 3*log(x), 2*log(x) 比較 總行了吧
12/23 01:04, 5F
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12/23 01:08, , 6F
而且高中明明就有教微積分..
12/23 01:08, 6F
以高中數學的課綱編排 是先講指數再講對數 對數是以指數的反函數來定義的 所以這種說明方法顯然並不好(除非你別無選擇 只能用對數來解釋)
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12/23 01:09, , 7F
指數函數嚴格遞增 因此函數（x,y)會成正比 而只要在
12/23 01:09, 7F
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12/23 01:09, , 8F
圖形上截一段切線就能藉由比較斜率知道前者比後者
12/23 01:09, 8F
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12/23 01:09, , 9F
抖啊 而因為嚴格遞增 因此抖只會更陡 前者較後者抖
12/23 01:09, 9F
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12/23 01:09, , 10F
這樣解釋可以嗎？
12/23 01:09, 10F
可以講清楚點嗎?
推
12/23 01:17, , 11F
這題感覺不是大家不會 而是要解釋到原po滿意...
12/23 01:17, 11F
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12/23 01:17, , 12F
更正 在x1 x2座標相同的情況下截割線
12/23 01:17, 12F
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12/23 01:18, , 13F
要以此類推的話 你證完整數 就可以往1/2 2/2..1/3..
12/23 01:18, 13F
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12/23 01:19, , 14F
把有理數域類推完 然後類推sqr(2)...把非超越數證完
12/23 01:19, 14F
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12/23 01:39, , 15F
樓上這樣做的話 原po大概會說對超越數沒證明吧
12/23 01:39, 15F
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12/23 01:40, , 16F
還有 我想請原po說明一下 你能夠接受的高中教的工具
12/23 01:40, 16F
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12/23 01:40, , 17F
有哪些
12/23 01:40, 17F
在教到指數之前還沒講微積分啦 並且用微積分來說明這事情 很容易一不小心就用到實數完備性 比方說 光是證明正數A的n次方根必存在 就會用到完備性了 更何況要用微分來幹一些事情 In fact, 高中課綱在定正底數的實數次方就已經用到完備性(只是課本草草帶過) 我只想看看 在最多接受實數指數可以定義的情況下 能不能說明我問的這個
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12/23 01:41, , 18F
不然只會出現一堆你所謂“不好”的證明
12/23 01:41, 18F
※ 編輯: alfadick (220.141.112.34), 12/23/2016 01:46:31
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12/23 02:07, , 19F
如果說以你說的 陡是靠近y軸 的話 我想能不能這樣
12/23 02:07, 19F
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12/23 02:07, , 20F
看：固定某個y值 比較函數在那個y值時跟y軸的距離
12/23 02:07, 20F
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12/23 02:07, , 21F
因為3>2 所以要達到一樣的y值須要自乘的次數 2會比3
12/23 02:07, 21F
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12/23 02:07, , 22F
多 所以 3^x > 2^x 示意圖如下 http://i.imgur.com/
12/23 02:07, 22F
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12/23 02:07, , 23F
OH21Be0.jpg
12/23 02:07, 23F
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12/23 02:07, , 24F
12/23 02:07, 24F
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12/23 03:04, , 25F
首先，本來陡的定義最直接是用微分來看(或說差分吧)
12/23 03:04, 25F
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12/23 03:05, , 26F
如果我沒誤會原PO對「陡」的新訂法
12/23 03:05, 26F
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12/23 03:06, , 27F
檢查完整數點後，應該可以用「指數函數是遞增」
12/23 03:06, 27F
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12/23 03:06, , 28F
這件事來說明沒檢查的部分
12/23 03:06, 28F
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12/23 03:08, , 29F
不過對於很接近0的x，可能就要引進有理次方來估計了
12/23 03:08, 29F
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12/23 03:13, , 30F
看了上面推文，原來原PO連遞增都有疑問...
12/23 03:13, 30F
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12/23 03:14, , 31F
從定義開始，遞增應該不是難事。都能接受實數指數了
12/23 03:14, 31F
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12/23 03:21, , 32F
你把你引進實數指數的方法說出來，大家(或是你自己)
12/23 03:21, 32F
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12/23 03:22, , 33F
應該就能找方法證出遞增性了
12/23 03:22, 33F
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12/23 07:11, , 34F
原po應該要先把 "f(x) 比 g(x) 陡 in some region"
12/23 07:11, 34F
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12/23 07:13, , 35F
的定義寫出來吧, 不然大家怎知你要的是甚麼
12/23 07:13, 35F
推
12/23 07:40, , 36F
基本上你的要求是不可能的
12/23 07:40, 36F
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12/23 07:41, , 37F
因為定義指數函數本身就要用到實數的完備性
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12/23 07:44, , 38F
反過來說 實數的完備性能用 那事情就簡單多了
12/23 07:44, 38F
推
12/23 08:49, , 39F
我想表達的意思
12/23 08:49, 39F
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12/23 08:49, , 40F
是這樣
12/23 08:49, 40F
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12/23 08:50, , 41F
不過我不知道這樣講O不OK 我也只是高中生
12/23 08:50, 41F
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12/23 14:49, , 42F
證明 3^x > 2^x 也不能直接變成所謂「陡度」吧？
12/23 14:49, 42F
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12/23 14:50, , 43F
難道 (x+1) 比 x 陡嗎？
12/23 14:50, 43F
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12/23 14:51, , 44F
反而證 3^x/2^x 遞增才比較貼近「陡度」的本意
12/23 14:51, 44F
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12/23 14:52, , 45F
因為這個說明 x 越大的時候兩條曲線會拉得越開
12/23 14:52, 45F
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12/23 14:52, , 46F
也就是 3^x 跑得比 2^x 快
12/23 14:52, 46F
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12/23 14:55, , 47F
然後這就牽扯到 (1.5)^x 是不是遞增
12/23 14:55, 47F
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12/23 14:56, , 48F
然後...如果你連 a^x 這個函數本身的性質都還不能拿
12/23 14:56, 48F
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12/23 14:57, , 49F
來直接用，如果你還不知道 a^x 是什麼東西，你是要
12/23 14:57, 49F
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12/23 14:57, , 50F
怎麼討論 a^x 和 b^x 不同 a, b 的差異？
12/23 14:57, 50F
推
12/23 20:07, , 51F
安安 我共軛雙曲線喔
12/23 20:07, 51F
推
12/23 20:20, , 52F
可以用比較方便吧有微積分
12/23 20:20, 52F
→
12/26 11:50, , 53F
你乾脆先證3>2吧 ㄏ
12/26 11:50, 53F
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