Re: [中學] 三角函數求極限值的問題
※ 引述《icesupply (思念,向秋天的樹葉~)》之銘言：
: 不好意思，上回發問好像放錯類別
: 雖然是求極限，但也許用中學的方法也行得通
: a_n=(1/4)^(n-1)*[5-4cos(2pi/n)]*[5-4cos(4pi/n)]*...*[5-4cos(2(n-1)pi/n)]
: 則 lim a_n=?
: n->∞
: 非常感謝大家
: 這一題困擾我許久了
ker板友前面的方法就是利用中學複數的方法
我把它補完並且寫(編排)得再清楚一點
a = 2π/n
cos(a) = (1/2)[exp(ia) + exp(-ia)]
[5 - 4cos(a)] = 5 - 2exp(ia) - 2exp(-ia)
= [exp(ia) - 2][exp(-ia) - 2]
n-1 n-1
a_n = Π{[exp(ika) - 2]/2} * Π{[exp(ika) - 2]/2}
k=1 k=1
n-1
= [ Π{[1 - (1/2)exp(ika)} ]^2
k=1
= {[(1)^n - (1/2)^n]/[1 - (1/2)]}^2
lim a_n = 2^2 = 4
n→∞
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