Re: [其他] "等於"的定義反對稱性

看板Math作者xcycl (XOO)時間9年前 (2016/08/31 16:33)推噓2(2推 0噓 14→)

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※ 引述《ppu12372 (高能兒)》之銘言： : https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E7%AD%89%E4%BA%8E : 維基百科的定義是: : 集合A上一種滿足自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性的二元關係 : 自反性、對稱性、和傳遞性就是等價關係嘛，所以照他所述，等於和等價就差在反對稱性 : 但我點進去反對稱性的說明後發現 : "若對所有的M搣轏，若鰜Y到bB鰜Y到a，則 a = b" : 如果拿它來定義等於，他的敘述中包含了等號，就循環定義了 : 再往下看("等於"的條目) : 下面有提到替代性 : 用滿足替代性的等價關係來定義等於好像沒問題，但我後來有查到有個條目叫等量公理， : 問題是，非邏輯公理不就是公設嗎？ : 代表我們可以建構另一個不滿足等量公理卻用到"等於"這個概念的公理系統 : 就像歐幾里德幾何第五公設可以換掉一樣 : 所以"等於"到底該怎麼定義？ : ----- : Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z00AD. 英文 Wikipedia 上有不少內容，不過稍微爬梳也幫我自己複習一下。在二階邏輯下，也就是量詞 for all ... 跟 for some ... 可以不單指元素，還可以指集合的情況下， x = y 可以定義成 For all P, P x if and only if P y 白話說 x 等於 y 代表對任意的性質，如果 x 滿足則 y 也滿足，反之亦然，稱為萊布尼茲等式（Leibniz's equality）。從這個定義出發，我們可以證明等號 = 是一個等價關係，以及替代性等性質。因為定義用到了對所有的「性質」，在一階邏輯下沒辦法定義得用到二階。除此之外，如果系統內已經有一個等式是用公設定義出來的等式我們還可以證明兩者種等式是等價。以上情況是單看在二階邏輯的情況，加入集合論後，要說集合相等，加入外延公設 Axiom of Extensionality 也就是說「若 X, Y 有一樣的元素，則 X = Y」。反過來則是用 Leibniz 等式的定義推得。接下來拿掉 Extensionality 也是可以找到滿足的模型，底下 http://math.stackexchange.com/questions/63910/example-of-a-model-in-set-theory -where-the-axiom-of-extensionality-does-not-hold 有舉一個簡單的例子。但事情其實還沒結束，Wikipedia 跟 MathOverflow 有不少線索指引，包括像是把一般的集合論塞到沒有等式的集合論，或是分類等式的意義，Leibniz's equality 變成可以證明之類的... 大概就這樣吧。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 76.93.217.199 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1472632404.A.660.html

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