Re: [中學] 遞迴關係式

看板Math作者 (keith)時間7年前 (2016/07/26 01:37), 7年前編輯推噓5(5推 0噓 9→)
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※ 引述《petwing (主流想法不一定是好的)》之銘言： : a_1 = 6 : 1 : a_(n+1) = -------- : a_n + 1 : 求 a_n 的一般項 : 謝謝 取 k = (1 + √5)/2 則由 a_(n+1) = 1/(a_n + 1) 有 a_(n+1) + k = 1/(a_n + 1) + k = k(a_n + k)/(a_n + 1) 取倒數 1/(a_(n+1) + k) = (a_n + 1)/( k(a_n + k) ) = (1/k)(1 + (1-k)/(a_n + k) ) 令 b_n = 1/(a_n + k), 有 b_1 = 1/(6 + k) 得 b_(n+1) = (1/k)(1 + (1-k)b_n) = 1/k + ((1-k)/k)b_n 令 t = (1-k)/k 有 b_n = t b_(n-1) + 1/k t b_(n-1) = t^2 b_(n-2) + t/k t^2 b_(n-2) = t^3 b_(n-3) + t^2/k . . . +) t^(n-2) b_2 = t^(n-1) b_1 + t^(n-2)/k --------------------------------------------- b_n = t^(n-1) b_1 + (1/k)( (1-t^(n-1))/(1-t)) = 1/(a_n + k) 故 a_n = 1/((t^(n-1) /(6 + k)) + (1/k)( (1-t^(n-1))/(1-t))) - k 其中 t, k 如上所令 化簡留給你, 計算有錯請告知 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.8.26 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1469468263.A.5BA.html
推
07/26 01:55, , 1F
謝謝k大解答，不過我那位高中朋友應該看了會瘋掉...
07/26 01:55, 1F
推
07/26 09:51, , 2F
為什麼取 k = (1 + √5)/2 ? 照你這麼做,k可以任意
07/26 09:51, 2F
推
07/26 09:56, , 3F
回樓上，兩邊加k，倒數，右式提出1/k才能產生
07/26 09:56, 3F
→
07/26 09:56, , 4F
1/(a_n+1) = 常數 + 1/(a_n-1+1)*k
07/26 09:56, 4F
→
07/26 09:57, , 5F
目標是配成分母都是 an + "相同常數"
07/26 09:57, 5F
推
07/26 10:11, , 6F
原來如此,就是由b_1=1/(a_1+k) = 1/(6+k)
07/26 10:11, 6F
→
07/26 10:12, , 7F
b_2=1/(a_2+k) = 1/(1/7 +k)=7/(1+7k)
07/26 10:12, 7F
→
07/26 10:13, , 8F
然後帶入b_(n+1) = (1/k)(1 + (1-k)b_n)
07/26 10:13, 8F
→
07/26 10:14, , 9F
所以有 b_2 = (1/k)(1 + (1-k)b_1)
07/26 10:14, 9F
→
07/26 10:18, , 10F
即7/(1+7k)=1/k + ((1-k)/k)(1/(6+k))= 7/(k(k+6))
07/26 10:18, 10F
→
07/26 10:20, , 11F
整理得k^2-k-1=0 ,所以 k = (1 + √5)/2
07/26 10:20, 11F
→
07/26 10:21, , 12F
照這樣的邏輯 應該不要一開始就取k = (1 + √5)/2
07/26 10:21, 12F
→
07/26 10:22, , 13F
因為k是可以由上面的計算過程得到的
07/26 10:22, 13F
這個 k 當然是計算得到的 我們希望 a_(n+1) + k = 1/(a_n + 1) + k = (ka_n + (k + 1))/(a_n + 1) 有機會互消 所以分子比例要一樣即 1 : k = k : k + 1 才解出可以用的 k 值 只是打這篇的時候都要睡啦, 偷懶一下 :P ※ 編輯: keith291 (111.248.111.233), 07/26/2016 14:28:14
推
07/26 15:08, , 14F
這招挺神的! 要想到真不簡單
07/26 15:08, 14F
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