Re: [分析] 請教關於複變函數的積分問題
※ 引述《bl2086 (Bingo)》之銘言：
: 複變中的複數積分是將向量場的線積分概念推廣到複數平面上去,
: 在Bak & Newman的Complex Analysis一書的Chapter 8, 單純介紹
: 函數f若在Simply Connected Domain D中解析, 那麼f就有反導函
: 數F使得F'=f, 若C為D中之Simple Closed Curve, 則f在C上的積分
: 為0, 原因是起點及終點同是a, 所以積分等於F(a)-F(a)=0
: 相較之下, Conway的Functions of One Complex Variable就扯了
: 不少拓樸學的東西, 像Section 4.6就假設f在整個複數平面上解析
: , 而C為closed rectifiable curve且同倫(homotopic)於0, 則f在
: C上的積分為0
: 我的問題是:是不是只要f在封閉曲線C的所在範圍內解析, f就在此
: 範圍內有反導函數F呢?(先不談後面奇點和留數的情形)
: 想聽聽大家的意見
「f 在封閉曲線 C 的所在範圍內解析」這句話有兩種解讀，我相信你
指的是第二種。
(1) 「f 在 C 上的每一個點都是解析的」。在這個前提下很難作什麼
計算，因為 f 的 C 的內部沒有其他假設。
(2) 簡單起見，我們假定 C 是簡單封閉曲線，而 f 在 C 上與 C 的
內部都是解析的。於是根據 Cauchy-Goursat 定理， f 在 C 上
積分為 0，並且在 C 與其內部的任一條封閉曲線上積分亦為 0，
於是 f 在 C 與 C 的內部有反導函數 (由某個路徑積分定義)。
以上。
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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