Re: [複變] 實軸是唯一實值的全純函數至多一零點

看板Math作者 (r=e^theta)時間8年前 (2016/05/07 01:17), 編輯推噓3(3推 0噓 13→)
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保留題目 if f is entire function and f(x) is real if and only if x is real then f has at most one zero. 可用open mapping principle 設 f 有兩個零點a,b，則 f在開區間 (a,b) 有極大值或極小值 (否則會導致f=0) 可設為f(c)為極小值，但這麼一來，存在c的鄰域U 使 f(c) 屬於 f(U) 交集 R 包含於 [f(c),無限大)，f(U) 非開集矛盾 注：由此可見，題目中的entire非必要。 -- 代數幾何觀點！ Algebro-Geometrical Aspect! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.43.227 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1462555030.A.CEF.html
推
05/07 02:21, , 1F
嗨嗨 有個地方有問題 我先陳述一下你的論點看是不是
05/07 02:21, 1F
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05/07 02:21, , 2F
[f(c),inf) is not open in complex plane
05/07 02:21, 2F
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05/07 02:22, , 3F
but f(U) is open in complex plane, contradiction
05/07 02:22, 3F
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05/07 02:22, , 4F
如果邏輯是這樣的話 有個大問題是 你的U是??
05/07 02:22, 4F
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05/07 02:22, , 5F
如果U=(c-r,c+r) 那open mapping不能用吧
05/07 02:22, 5F
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05/07 02:23, , 6F
因為open mapping是說把C中的開集打到C中的開集
05/07 02:23, 6F
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05/07 02:23, , 7F
如果U=ball with radius r, centered at c
05/07 02:23, 7F
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05/07 02:24, , 8F
雖然可以用open mapping，但是就沒有f(U)包含於
05/07 02:24, 8F
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05/07 02:24, , 9F
[f(c),inf)而去導出矛盾了
05/07 02:24, 9F
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05/07 02:24, , 10F
我有誤會你的論證嗎?? 謝謝!
05/07 02:24, 10F
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05/07 03:09, , 11F
U open in C => f(U)交集R open in R, 就會矛盾。
05/07 03:09, 11F
推
05/07 03:55, , 12F
不好意思這邊我不太懂耶 你寫 U open in C 那U就是
05/07 03:55, 12F
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05/07 03:56, , 13F
ball with radius r, centered at c
05/07 03:56, 13F
推
05/07 03:58, , 14F
沒事 看懂矛盾了 謝謝!!
05/07 03:58, 14F
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05/07 16:30, , 15F
你忘了算重根數
05/07 16:30, 15F
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05/07 20:47, , 16F
是可以不用entire但要有open map…其實也差不了多少
05/07 20:47, 16F
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