[分析] 證明無窮多根

看板Math作者 (佳佳)時間9年前 (2016/04/23 03:13), 編輯推噓6(6推 0噓 16→)
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令 A, B 是 n 階實矩陣，B 可逆，證明或否證 det ( x - A - e^{-x} B ) = 0 有無窮多複數根 x。 ＿＿＿＿＿ 已知： 當 n = 1 時已知有無窮多複數根。 當 AB = BA 且 B 可對角化時可化約成 n = 1。 ＿＿＿＿＿ 問題動機： 考慮延遲線性常微分方程：y'(t) = Ay(t) + By(t-1) y 是 R^n 中的向量 因為線性，代入特解 y(t) = ce^{xt}，則特徵值 x 滿足該行列式方程式。 非常感謝！ 佳佳 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 87.162.87.167 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1461352421.A.31B.html
推
04/23 03:27, , 1F
特解 c 的地方應該要是向量吧
04/23 03:27, 1F
→
04/23 03:28, , 2F
要讓這方法 work, c 還要同時是 A, B 的 eig. vec.
04/23 03:28, 2F
推
04/23 03:33, , 3F
由這個觀點就可以發現 AB 不等於 BA 時可能會有反例
04/23 03:33, 3F
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04/23 03:35, , 4F
比如 A=[1,0; 0,0] B=[0,0; 1,0], det=x^2-x 僅兩根
04/23 03:35, 4F
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04/23 13:03, , 5F
感謝，請問有沒有 B 可逆（invertible）的例子？
04/23 13:03, 5F
推
04/23 16:09, , 6F
上面的 A 和 B 各加一個 I 即可
04/23 16:09, 6F
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04/24 19:04, , 7F
上例的話行列式等於零等價於 x - 2 -e^{-x} = 0
04/24 19:04, 7F
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04/24 19:05, , 8F
或 x - 1 - e^{-x} = 0，已知這兩式子都有無窮多
04/24 19:05, 8F
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04/24 19:05, , 9F
複數根。
04/24 19:05, 9F
推
04/24 20:58, , 10F
我懂了 你的方法沒有錯
04/24 20:58, 10F
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04/24 20:58, , 11F
先假令 exp(-x) = y, 並忽略他與 x 之間的關係
04/24 20:58, 11F
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04/24 20:58, , 12F
det( x-A-yB ) = det( B (x-A) B^{-1} - y )
04/24 20:58, 12F
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04/24 20:58, , 13F
要使此式=0，等價於使 B (x-A) B^{-1}
04/24 20:58, 13F
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04/24 20:59, , 14F
有 eig value y, 也就是 x-A 有 eig value y.
04/24 20:59, 14F
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04/24 20:59, , 15F
等價於 det(x-y-A)=0 接著就簡單了
04/24 20:59, 15F
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04/24 21:00, , 16F
喔不我上面弄錯了
04/24 21:00, 16F
推
04/24 21:12, , 17F
det( x-A-yB ) = det( (x-A) B^{-1} - y )
04/24 21:12, 17F
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04/24 21:12, , 18F
而若 det((x-A) B^{-1}) 有根 x=a_1, a_2,...
04/24 21:12, 18F
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04/24 21:13, , 19F
則 det( (x-A) B^{-1} - y )=(x-y-a_1)(x-y-a_2)...
04/24 21:13, 19F
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04/24 21:13, , 20F
因此必有根
04/24 21:13, 20F
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04/24 21:16, , 21F
又弄錯了 不要理我QQ
04/24 21:16, 21F
推
04/24 22:24, , 22F
我在下面回一篇了
04/24 22:24, 22F
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文章代碼(AID): #1N6dVbCR (Math)
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