Re: [微積] 微積分一題
※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 已知一個二次多項式函數 f(x) , 令 f(π) = t , f(π+1) = u , f(π+2) = v ,
: 2
: ∫ f(x) dx = Au + Bv + Ct , 試求出 A,B,C 的值.
: 0
: 我試著用數值積分的辛普森法或梯形法……
這題題目不完整吧
該等式應該是對"所有"二次多項式皆成立, 而 A,B,C 為絕對常數.
否則, 依據積分值, 可找到無窮多組 (A,B,C) 使等式成立
由linearity, 易知, 該等式對於所有deg<=2的多項式皆成立.
Let f(x)=1, 2=A+B+C
Let f(x)=x-1, 0=A(π-1)+Bπ+C(π+1) = 2π-A+C => A-C=2π
Let f(x)=(x-1)^2. 2/3 = A(π-1)^2+Bπ^2+C(π+1)^2
= 2π^2 + π(-2A+2C) + A+C = -2π^2 +A+C
so A+C=2π^2+2/3.
Therefore, A=π^2+π+1/3, B=-2π^2+4/3, C=π^2-π+1/3.
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