Re: 代PO 中央大學考古題求解

看板Math作者arthurduh1 (arthurduh1)時間9年前 (2016/03/25 00:23)推噓8(8推 0噓 17→)

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※第二題應該是藍筆修正的版本。 (原版本等價於 P(x)=0) 題設 P(x)P(x+1) = P(x^2+x+1) ......(a) 代入 x = -y-1 得 P(-y-1)P(-y) = P(y^2+y+1) ......(b) 令 x = y 知 P(x)P(x+1)=P(-x)P(-(x+1)) ......(c) 若 P(0)≠0 (c) 代入 x=0 得 P(1)=P(-1) 如此迭代，若有某個 n 滿足使得 P(n)=0 則 (a) 代入 x=n，得到 P(n^2+n+1)=0 但 x^2+x+1 在 x≧0 時為一遞增函數故找到無窮多個 P(x) 的零點, 多項式 P(x)=0 若不存在滿足條件的 n, 則 P(n)=P(-n) for any integer n P 為多項式, P(x) 與 P(-x) 在無窮多點相等 => 兩者相等 ※第三題: 看要用哪種方法觀察出 a_n = C(2n-1,n-1) 這邊有個比較組合的方法 C(2n-1,n-1) 就是在 2n-1 個東西裡挑出 n-1 個我們做出一個高 2 格、底 n-1 格的帶子然後將兩個 2 個的邊黏起來，變成一個圓柱狀每組垂直的兩格代表某個數字要不要取，假設上面著色代表要取那麼 C(2n-1,n-1) 就是將這個帶子著色，且「上面 n-1 格有著，下面 n 格有著，每組垂直的兩格必定要著一色」的方法數現在我們用 □■ 以及 ■■ 這兩種方塊來填 ■□ □□ 這兩個方塊的特色是右邊兩格皆是 ■ □ 填完後會有一組垂直的兩格沒有決定強制填 □ 即可 ■ 顯然填法有 (4n-2)(4n-4)...6 種而每個方塊的順序無關緊要，因此對稱性除掉 (n-1)! 這樣的填法必定會某 n-1 個著色格在上面反之，每種我們要的著法，都僅能唯一地切成這兩種方塊(以及最後兩格) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.230.45 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1458836618.A.A87.html

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