Re: [中學] 組合級數
※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: 日前碰到一個求組合數加總的問題，一直沒有頭緒下手，請問版上各位高手
: 問題：1/C(n,1) + 1/C(n,2) + ... + 1/C(n,n) = ?
: 再請各位高手能夠提供想法，謝謝!
設 a(n)=1/C(n,0)+1/C(n,1)+..+1/C(n,n)
2a(n)
=Σ_{k=0,..,n} {1/C(n,k)+1/C(n,n-k)}
=4+Σ_{k=1,..,n-1} {k/(nC(n-1,k-1)+(n-k)/(nC(n-1,n-k-1)))}
=2+Σ_{k=1,..,n} {k/(nC(n-1,k-1))} + Σ_{k=0,..,n-1} {(n-k)/(nC(n-1,n-k-1))}
=2+Σ_{k=0,..,n-1} {(n+1)/(nC(n-1,k))}
=2+((n+1)/n)a(n-1)
=> a(n)=((n+1)/(2n))a(n-1)+1
a(0)=1
a(1)=2
a(2)=5/2
.....
可導出
a(n)=(n+1)(1/(2^0(n+1))+1/(2^1(n))+1/(2^2(n-1))+..+1/(2^n(1)))
但我不確定能否再化簡...
ps. 原題要的是 a(n)-1
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※ 編輯: XII (140.122.136.42), 01/07/2016 11:25:36
推
01/07 12:05, , 1F
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推
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