Re: [機統] 一個想很久的問題
※ 引述《thinkabout ( )》之銘言：
: 有一個人玩一個遊戲，每次經過一個關卡會得到Ｄ個獎勵
: 而且，有一定機率CRT可以拿到2Ｄ個獎勵，即兩倍的獎勵
: 每個關卡的CRT是一樣的
: 那麼每一個關卡所得到的獎勵期望值應該是
: 2Ｄ*CRT+(1-CRT)*Ｄ
: = Ｄ*(1+CRT)
: 所以預期過Ｎ個關卡所得到的獎勵期望值應該是
: Ｎ*Ｄ*(1+CRT)
: =====================================================
: 另外一個想法是，如果我確定要過Ｎ個關卡
: Ｎ
: 由[CRT+(1-CRT)]^Ｎ = sum C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k) = 1
: k=0
: 得知過Ｎ關的獎勵期望值應該是
: Ｎ
: Ｄ*sum (Ｎ+k)*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
: k=0
: Ｎ
: = Ｎ*Ｄ + Ｄ*sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
: k=0
: =====================================================
: 請問這兩種想法算出來的值是一樣的嗎？
: 也就是
: Ｎ
: Ｎ*CRT = sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)？
: k=0
N
= sum [N! / {(N - k)! (k - 1)!}] CRT^k [1 - CRT]^(N-k)
k=0
N
= N sum [(N - 1)! / {(k - 1)! (N - k)! }] CRT^k [1 - CRT]^(N-k)
k=1
N-1
= N CRT sum [(N - 1)! / {k! (N - k - 1)!] CRT^k [1 - CRT]^(N-k)
k=0
= N CRT
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推
10/18 13:27, , 1F
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