[機統] 一個想很久的問題
有一個人玩一個遊戲，每次經過一個關卡會得到Ｄ個獎勵
而且，有一定機率CRT可以拿到2Ｄ個獎勵，即兩倍的獎勵
每個關卡的CRT是一樣的
那麼每一個關卡所得到的獎勵期望值應該是
2Ｄ*CRT+(1-CRT)*Ｄ
= Ｄ*(1+CRT)
所以預期過Ｎ個關卡所得到的獎勵期望值應該是
Ｎ*Ｄ*(1+CRT)
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另外一個想法是，如果我確定要過Ｎ個關卡
Ｎ
由[CRT+(1-CRT)]^Ｎ = sum C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k) = 1
k=0
得知過Ｎ關的獎勵期望值應該是
Ｎ
Ｄ*sum (Ｎ+k)*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
k=0
Ｎ
= Ｎ*Ｄ + Ｄ*sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
k=0
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請問這兩種想法算出來的值是一樣的嗎？
也就是
Ｎ
Ｎ*CRT = sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)？
k=0
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