[其他] 極限對f(n)的n次方能否拆開

看板Math作者 (())時間10年前 (2015/08/26 22:40), 編輯推噓3(3推 0噓 28→)
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假如 lim [f(n)]^n n逼近無限 能拆成 lim {[ lim f(n)]}^n n逼近無限 n逼近無限 這樣嗎 就先取裡面極限 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.77.193 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1440600058.A.457.html
推
08/26 22:43, , 1F
不能; 如果裡面的極限是 1 就糟了
08/26 22:43, 1F
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08/26 22:44, , 2F
1^∞ 是不定形的其中一種, 極限值要看是什麼函數
08/26 22:44, 2F
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08/26 22:46, , 3F
相對的, 裡面極限不是 1 的話就 OK; 全式取對數即知
08/26 22:46, 3F
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08/26 22:47, , 4F
裡面是1/e
08/26 22:47, 4F
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08/26 22:48, , 5F
L大 請問這觀念或證明能去哪裡搜尋呢 謝謝
08/26 22:48, 5F
推
08/26 22:50, , 6F
你是高中生嗎? 這個在初微會講
08/26 22:50, 6F
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08/26 22:51, , 7F
初微好像沒講到裡面也是n的函數再n次方
08/26 22:51, 7F
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08/26 22:52, , 8F
只有說到F(X)^n
08/26 22:52, 8F
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08/26 22:52, , 9F
可以請l大再幫看看我的下面那則問題嗎 感謝
08/26 22:52, 9F
推
08/26 22:52, , 10F
裡外變數一樣那就等於是外面也是 x 次方
08/26 22:52, 10F
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08/26 22:53, , 11F
這種指數形極限常用做法都是先取對數化簡
08/26 22:53, 11F
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08/26 22:53, , 12F
我修課助教跟我說極限不能這樣分開取
08/26 22:53, 12F
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08/26 22:54, , 13F
是, 因為有我上面講的不定形的問題
08/26 22:54, 13F
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08/26 22:54, , 14F
但是我有算出裡面極限存在
08/26 22:54, 14F
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08/26 22:55, , 15F
所以一般來說不建議直接拆, 都取對數化簡後再去看
08/26 22:55, 15F
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08/26 22:56, , 16F
但如果裡面極限存在是否就能說可以拆
08/26 22:56, 16F
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08/26 22:56, , 17F
類似乘除極限 個別存在就能拆開這樣
08/26 22:56, 17F
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08/26 22:57, , 18F
所以說啦, 萬一裡面極限是 1 就完了
08/26 22:57, 18F
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08/26 22:58, , 19F
再說你這樣也不是個別極限存在, 次方的極限發散到∞
08/26 22:58, 19F
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08/26 22:59, , 20F
如果底數跟指數兩個的極限都存在那當然可以拆開
08/26 22:59, 20F
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08/26 22:59, , 21F
有一個發散就不能拆開要另外做
08/26 22:59, 21F
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08/26 23:01, , 22F
給你三個裡面是 1 的狀況, 三個極限都不一樣
08/26 23:01, 22F
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08/26 23:01, , 23F
f(n) = 1+1/n: 這個你應該很熟, 極限是 e
08/26 23:01, 23F
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08/26 23:02, , 24F
f(n) = sin(1/x): 這個極限是 0
08/26 23:02, 24F
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08/26 23:02, , 25F
(啊, 變數打成 x 了...那是 n)
08/26 23:02, 25F
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08/26 23:02, , 26F
f(n) = 1/sin(1/n): 這個極限是發散到∞
08/26 23:02, 26F
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08/26 23:03, , 27F
這三種狀況裡面的極限都是 1, 但全式的極限卻都不同
08/26 23:03, 27F
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08/26 23:03, , 28F
這就叫做不定形, 你在學初微的話之後會教這要怎麼算
08/26 23:03, 28F
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08/26 23:04, , 29F
了解 因為次方也是無限不是我想的常數
08/26 23:04, 29F
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08/27 06:48, , 30F
(1+1/n)^n→e, (1+1/n^2)^n→1, (1+1/√n)^n→+∞
08/27 06:48, 30F
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08/27 06:48, , 31F
上列3例沒有 n 次方的話極限都是 1.
08/27 06:48, 31F
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