Re: [微積] 微分方程請益

看板Math作者 (keith)時間10年前 (2015/08/26 20:24), 編輯推噓8(8推 0噓 13→)
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※ 引述《puppy1607 (Chiang)》之銘言： : 題目:y"=1+(y')^2 : 我算出來是y= c1-ln cos(x+c2) : 二次微分方程不是該有兩個解嗎?那麼算出來怎麼感覺只有一個解，常數解帶進去也不對 : ----- : Sent from JPTT on my HTC_Butterfly_s_901s. 令 u = y' u' = 1 + u^2 => ∫1/(1 + u^2) du = ∫dx => arctan u = x + C1 => u = tan(x + C1) = y' => y = ln|sec(x + C1)| + C2 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.248.108.88 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1440591891.A.5AC.html
推
08/26 20:25, , 1F
我想問這樣算出來不是才一個解而已嗎，二次微分不是
08/26 20:25, 1F
→
08/26 20:25, , 2F
會有兩個解
08/26 20:25, 2F
→
08/26 20:27, , 3F
兩個解? 是待定係數有兩個吧
08/26 20:27, 3F
推
08/26 20:38, , 4F
n次微分不是會有n個解嗎
08/26 20:38, 4F
→
08/26 22:04, , 5F
那請問y"=1有幾個解
08/26 22:04, 5F
推
08/27 17:14, , 6F
像是second order 不是就會有兩個線性獨立的解嗎
08/27 17:14, 6F
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08/27 17:19, , 7F
是有兩個獨立的係數吧
08/27 17:19, 7F
→
08/27 17:20, , 8F
ln|sec(x+c1)|+c2 -> (c1, c2) 是 bijection
08/27 17:20, 8F
→
08/27 18:32, , 9F
建議再看看課本
08/27 18:32, 9F
推
08/27 21:39, , 10F
c1_c2
08/27 21:39, 10F
推
08/27 21:41, , 11F
原po 答案嗯分母是 sec嗎@@
08/27 21:41, 11F
推
08/28 00:28, , 12F
回pu大，有一解在1+u^2=0 會產生，可解出 y=-ix +c
08/28 00:28, 12F
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08/28 00:28, , 13F
(singular solutions)
08/28 00:28, 13F
推
08/28 00:32, , 14F
但二階一次微分方程式，一般不考慮奇異解的話，只會
08/28 00:32, 14F
→
08/28 00:32, , 15F
有兩個常數產生的解。還是你問的是y=c1y1+c2y2的y1
08/28 00:32, 15F
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08/28 00:32, , 16F
和y2？
08/28 00:32, 16F
推
08/28 00:43, , 17F
恩恩 雖然都算得出來，所以解不一定都是y=c1y1+c2y2
08/28 00:43, 17F
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08/28 00:43, , 18F
的嗎
08/28 00:43, 18F
→
08/28 10:37, , 19F
y'=(1-y^2)^(1/2)的解是 y = sin(x+c) 連一次都寫
08/28 10:37, 19F
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08/28 10:37, , 20F
那樣了
08/28 10:37, 20F
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08/28 10:38, , 21F
連一次微分都寫不成那樣了
08/28 10:38, 21F
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