Re: [中學] 二題一問~~
※ 引述《bigjuto (瘋狂的學生)》之銘言：
: 1、(1)證存在2個正整數a,b滿足a^2-b^2=101
: (2)求滿足下列條件的正整數n之最小值：在任意n(n>=2)個相異
: 的正整數中，必存在二相異數a,b，使101整除a^2-b^2
: 2、100可分成幾組3個正整數之和？
: (如：2,2,96和2,96,2和96,2,2只能算一組)
: 感恩 謝謝~~~
1. (1) a=51, b=50
(2) 101|a^2-b^2 => 101|a+b or 101|a-b
也就是說，把除以101餘數分成 (0), (1,100), (2,99), ... , (50,51)
只要取到同一組的數字，那他們平方相減就會是101的倍數
根據鴿籠原理至少要取51+1=52個數
2. 我不知道有沒有更好的算法，我想跟他拼了(?)
( 1, 1, 98) ~ ( 1, 49, 50) : 49組
( 2, 2, 96) ~ ( 2, 49, 49) : 48組
( n, n, 100-n) ~ ( n, [(100-n)/2], 剩的) : 共[(100-n)/2]-n+1組
當n是2k-1時，k範圍是1-17，共有(50-k)-(2k-1)+1=52-3k組
當n是2k 時，k範圍是1-16，共有(50-k)-(2k)+1 =51-3k組
所以答案是 sum_(k=1)^17 (52-3k) + sum_(k=1)^16 (51-3k) = 833
很有可能算錯的算法，算錯要跟我說(?)
============================================
欸我想到第二種算法了
先把(1,2,97)這種情況展開算成6種，(1,1,98)這種情況展開算成3種
那就變成3個正整數a,b,c相加變成100，也就是a+b+c=100, a,b,c>=1的情況
這是 a+b+c=97, a,b,c>=0 也就是兩個加號和97顆球排列
也就是C(99,2) = 99*49 種情況
其中長的像(1,1,98)等總共有3*(49) 種情況，是重複3次的
長的像(1,2,97)就是剩下的96*49 = 6*(16*49)種情況，是重複6次的
因此把重複的部分除掉，總共就有 49 + 16*49 = 833種
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 106.65.142.101
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1440045454.A.D49.html
※ 編輯: Desperato (106.65.142.101), 08/20/2015 12:49:27
※ 編輯: Desperato (106.65.142.101), 08/20/2015 12:52:23
討論串 (同標題文章)