Re: [中學] 多項式切線問題
承D大所言，把所有三次曲線反曲點都平移到原點作討論
過反曲點作切線，加上原圖形，共把平面分成四塊
不負責任猜想：
在切線和凹口所圍的區域，僅能作一切線
在凹口外的區域，能作三切線
沒有只能作兩切線的點
猜想理由：
我先從拋物線的圖形開始想
凹口外的區域任一點，對拋物線都能作兩切線(憑感覺，未證明)
凹口內的區域，對拋物線不能作任何的直線
接著試圖推廣到三次曲線
先用反曲點切線將三次曲線切成兩部分
並將拋物線的情形作修正(拋物線可無限延伸，但被切開的三次曲線必有盡頭)
再將被切開的三次曲線綜合起來，得到以上猜想
如果要我推四次以上曲線
我想我會先把各反曲點的的切線都作出來
把曲線切成數個部分，再從上面的想法去作作看
而D大提到實根的問題，所以奇次曲線的情況下，
平面上不在曲線上的任一點一定都能作出切線，
而切線數必為奇數條(曲線上的點有重根問題)
在偶次曲線的情況下，
平面上不在曲線上的任一點能作出的切線必為偶數條
當然會有某些曲域可能一條都畫不出來
不過原來的問題是要定出各項係數嗎？
※ 引述《Desperato (TimcApple)》之銘言：
: ※ 引述《Bluetease (孟獲七擒七縱孔明)》之銘言：
: : f(x)=a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0
: : 過座標平面任一點(p,q)可對f(x)作最少一條，最多三條之切線。
: : 試問<an>符合甚麼條件下，最多只能作出兩條切線？
: : 符合甚麼條件下，最多只能作出一條切線？
: : 如果能作最多三條切線，可否把座標平面分割為可作一條、兩條、三條切線的區域？
: : 如果能作最多兩條切線，可否把座標平面分割為可作一條、兩條切線的區域？
: : 此題的三次多項式如果推論到n次多項式又如何？
: : 可否找出讓圖形上任一點最多只能作n條，n-1條，n-2條....的<an>？
: : 又如何將平面畫分為若干區域，使各區域可作出之最大切線數各不相同？
: : 小弟數學很差，所幸還算會自己看書，請各位大大稍微指引方向，
: : 告訴我在甚麼樣的數學叢書中可以找到解題的方向？非常感謝！
: 都問切線了，要用微積分囉ow o
: 我只有硬爆3次的情況，4次以上請自己加油（？
: 3次方程式必有正好一個反曲點
: 而且反曲點就是旋轉對稱中心
: 為了計算方便，把反曲點移到原點，去掉首項係數
: 就有f(x) = x^3 + ax, a是實數
: 切線方程式 (y-y0) = f'(x0) (x-x0)
: 設切點(t, t^3+at)有 (y-t^3-at) = (3t^2+a) (x-t)
: 過任一點(p, q)的切線數量
: 就是把p, q代入求t的相異實根數量
: 因此整理得2t^3 - 3pt^2 + q - ap = 0
: 爆判別式 = -108(q-ap)(q-ap-p^3)
: 大於0是3相異實根，小於0是1實根2虛根
: 等於0是有重根，p=q=0是3重根，其他2重根
: q-ap=0是過原點的切線方程式
: q-ap-p^3=0是三次方程式本身
: 因此給定任意p時，當q
: 界在兩方程式中間時有3切線
: 在任一方程式上時有2切線
: 在外面則只有1切線
: 例外是p=q=0的時候只有1切線
: 由於平移與伸展不影響切線數量
: 對所有三次方程式都存在平面上一點有3切線
: 四次以上我不知道啦懶的算（？）
: 不過可以想想看切點在方程式上面滑動
: 被滑動的切線掃過n次的區域，當然就有n條切線囉
: 由於反曲點會讓切線轉動方向反過來
: 應該會是重要指標吧我猜ow o
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.217.5.81
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1439057763.A.F21.html
※ 編輯: LeonYo (180.217.5.81), 08/09/2015 02:19:58
※ 編輯: LeonYo (180.217.5.81), 08/09/2015 07:31:18
推
08/09 11:03, , 1F
08/09 11:03, 1F
→
08/09 11:22, , 2F
08/09 11:22, 2F
→
08/09 16:49, , 3F
08/09 16:49, 3F
→
08/09 16:50, , 4F
08/09 16:50, 4F
→
08/10 02:02, , 5F
08/10 02:02, 5F
推
08/10 12:11, , 6F
08/10 12:11, 6F
討論串 (同標題文章)