Re: [微積] 微分
※ 引述《abc0229 ((abc0229))》之銘言：
: 最近學到數值的poisson equation
: △u(x,y) = uxx + uyy
: 探討到圓面問題時
: x = r*sin(x)
: {
: y = r*cos(x)
: 1 1
: △u(r,θ) = urr + ──*ur + ──*uθθ
: r r^2
: 我想問△u(r,θ)是怎麼做出來的，因為我試了很多次變數變換還是做不出來QQ
: 懇請各位大大幫忙，感謝 > <
你課本沒這個？
u_r = cosθu_x + sinθ u_y
u_θ= -rsinθu_x + rcosθ u_y
=> u_x = cosθ u_r - sinθ/r u_θ
u_y = sinθ u_r + cosθ/r u_θ
@/@x = cosθ @/@r - sinθ/r @/@θ
@/@y = sinθ @/@r + cosθ/r @/@θ
=> u_xx = cos^2θ u_rr + (cosθsinθ)/r^2 u_θ - (cosθsinθ)/r u_θr
+ sin^2θ/r u_r - (cosθsinθ)/r u_rθ + sin^2θ/r^2 u_θθ
u_yy = sin^2θ u_rr - (cosθsinθ)/r^2 u_θ + (cosθsinθ)/r u_θr
+ cos^2θ/r u_r + (cosθsinθ)/r u_rθ + cos^2θ/r^2 u_θθ
故 △u = u_rr + 1/r u_r + 1/r^2 u_θθ
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