Re: [中學] 算數平均與幾何平均

看板Math作者doa2 (邁向名師之路)時間11年前 (2014/12/25 10:53)推噓0(0推 0噓 3→)

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※ 引述《mack (腦海裡依然記得妳)》之銘言： : 已知兩正整數 a, b,其算術平均數 A = (a + b)/2,幾何平均數 B = (ab)^(0.5). : 若 A 與 B 皆為兩位數正整數,且 A 與 B 的十位數及個位數數字恰好相互交換, : 求 a + b 之值為? : (請賜教) 設A=(a+b)/2 = 10m+n，B=√ab =10n+m，不失一般性假設a≧b≧1 由算幾不等式可知A≧B，故m≧n≧1 又A^2=(a+b)^2/4=(10m+n)^2 B^2=ab=(10n+m)^2 兩式相減得(a-b)^2/4 = (11m+11n)(9m-9n) 即[(a-b)/2]^2=99(m^2-n^2)....(*) 得99|(a-b)^2 => 33|(a-b) 但由A≦99可知a+b≦198，則a-b≦197-1=196 故a-b=0,33,66,99,132,165 但(a-b)/2為整數，故a-b=0或66或132 (1)若a-b=132,代回(*)式得m^2-n^2=44 => (m+n)(m-n)=44 由m+n,m-n必同奇或同偶可知m+n=22,m-n=2 =>m=12,n=10 (不合) (2)若a-b=66, 代回(*)式得m^2-n^2=11 => (m+n)(m-n)=11 => m+n=11,m-n=1 得m=6,n=5,a+b=130 (3)若a-b=0，即a=b，此時A=B，故m=n 若m=n=1, 則a=b=11, a+b=22 m=n=2, 則a=b=22, a+b=44 ... m=n=9, 則a=b=99, a+b=198 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.33.46.47 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1419475983.A.3B6.html

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bjiyxo

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