Re: [代數] 求方程式的解（懇請幫忙，P幣致謝）

看板Math作者Honor1984 (希望願望成真)時間11年前 (2014/11/20 03:32)推噓2(2推 0噓 3→)

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※ 引述《chrisZ (高雄)》之銘言： : 懇請高手協助，求下列方程式的解 x : e^(-x) n*e^(-nx) : (1-i) + ────── - ─────── = 0 : 1 - e^(-x) 1 - e^(-nx) : 求出精確解（closed-form），1500 P幣致謝 : 求出近似解，1000 P幣致謝 : 懇請版上答覆 : 若有多位回覆者，擇一位致贈P幣（精確解優先） : 懇請幫忙，非常感謝 n >= 1 e^(-x) n * e^(-nx) f(x) = -------------- _ ------------- 1 - e^(-x) 1 - e^(-nx) e^(-x) - ne^(-nx) + (n-1)e^(-(n+1)x) = ------------------------------------ 1 - e^(-nx) - e^(-x) + e^(-(n+1)x) e^(nx) - ne^(x) + (n-1) = ------------------------------------- e^[(n+1)x] - e^x - e^(nx) + 1 n - 1 - ne^x limf(x) ~ lim ----------- ~ lim [(n-1) - e^x] = n - 1 x->-∞ x->-∞ 1 - e^(x) x->-∞ e^(-x) lim f(x) ~ lim ------------ = 0 x->∞ x->∞ 1 lim f(x) x->0 1+nx+[(nx)^2]/2+ - n-nx- n(x^2)/2 + n - 1 ~ lim -------------------------------------------- x->0 e^(nx)[x] - x [(n^2 - n)/2]x^2 ~ lim -------------------- = (n-1)/2 x->0 nx^2 觀察檢查知f(x) - f(0) = -f(-x) + f(0) 即y = f(x)對於(0, f(0))這個點呈點對稱這個函數實際屆於0 ~ (n-1) 正好符合i-1的範圍所謂的近似式通常都是指在某種極限下好用的近似或者是漸進式而本函數因為exp的性質當i-1 = f(x) 靠近0時 ~ exp(-x) 見我上面求極限的過程 => x ~ -ln(i-1) ----------------情況1 當i-1 = f(x) 靠近n-1時 ~ (n-1)-exp(x) => x ~ ln(n - i) -----------------情況2 又當n越大 f(x)從n-1降到0更快速也就是當n越大 f(x)的值明顯介於0和n-1之間的x區間越短所以在n>>1(表示n很大的情況)的時候我們可以用通過(0, f(0))且具有f'(0)斜率的直線來逼近 f'(0)計算省略跟上面f(0)的求法類似再求到下一階即可直接給你答案f'(0) = (1-n^2)/12 所以在(情況1)及(情況2)中間 i-1 = f(x) ~ (n-1)/2 + f'(0)x 因此只要當n很大 0 < i-1 < n-1時 x ~ [i - 1 - (n-1)/2]/f'(0) --------(情況3) 都會是非常好的近似特別注意的是如果n不算大則(情況3)的近似式仍然可以是很好的近似只有在情況3和情況1 以及情況3和情況2 之間交界的區域會比較偏離真正解你可以按照我上面的方式再多加一些高階項但是最後你要拿他來求解x 就會變得很醜這樣就失去了求近似解的目的了 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.194.123 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1416425533.A.67A.html

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