Re: [中學] 看起來似乎是舒爾不等式的題目
※ 引述《t0444564 (艾利歐)》之銘言：
: 假定x,y,z ≧ 0, 且x+y+z = 1，求證
: 28(xyz)^2 + 8[(xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2] +(x^2+y^2+z^2) ≦ 1
: 感覺右邊的1要改為其他的東西，又或者需要調為齊次的，不是很確定要如何調整之
把1 改寫成 (x+y+z)^2
欲證等價於
14 (xyz)^2 + 4[(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2] <= xy + yz + zx
考慮
xy - 4x^2 y^2 = xy (1 - 4 xy)
>= xy(1 - (1-z)^2 ) (因為 x+y = 1-z，算幾不等式)
= 2xyz - xyz^2
輪換三式相加得到
xy + yz + zx - 4[(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2]
>= 6 xyz - xyz(x + y + z) = 5xyz
最後只要比較 5xyz 和 14 (xyz)^2
可是由算幾不等式得 1/27 >= xyz, 5xyz>= 135 (xyz)^2
發現題目其實可以把28改成270...
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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推
11/02 00:07, , 1F
11/02 00:07, 1F
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