Re: [中學] 一題關於立方的加法
※ 引述《trmsu (戰爭設計師)》之銘言：
: 請求神人幫忙 ....
: 腦子快爆炸了...
: 30^3+29^3 29^3+27^3 28^3+25^3 17^3+3^3 16^3+1^3
: _________ + _________ + _________+ .........+________ + _________
: 30^3+1^3 29^3+2^3 28^3+3^3 17^3+14^3 16^3+15^3
: thx....
每一項上下都用立方和公式 a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) 拆開
30^3+29^3 (30+29)(900-870+841) 59 * 871 59
----------- = ---------------------- = ---------- = ----
30^3+1^3 (30+1)(900-30+1) 31 * 871 31
29^3+27^3 (29+27)(841-783+729) 56 * 787 56
----------- = ---------------------- = ---------- = ----
29^3+2^3 (29+2)(841-58+4) 31 * 787 31
28^3+25^3 (28+25)(784-700+625) 53 * 709 53
----------- = ---------------------- = ---------- = ----
28^3+3^3 (28+3)(784-84+9) 31 * 709 31
依此類推, 你應該看得出規律了
所以原式 = 59/31 + 56/31 + 53/31 + ... + 17/31 = 570/31
---
規律的證明
[引理] 若 a=b+c, 則 a^2-ab+b^2 = a^2-ac+c^2
[證明] a=b+c → a-b-c=0 → (b-c)(a-(b+c))=0 → a(b-c)-(b^2-c^2)=0
→ ab-b^2=ac-c^2 → a^2-ab+b^2 = a^2-ac+c^2 得證
a^3 + b^3
可以看到原題每一項的形式都是 ----------- 且有 a=b+c
a^3 + c^3
於是用立方和公式拆開之後由引理大因數會約掉
剩下就是 (a+b)/(a+c) 了
又每一項的 a+c 都是 31, 所以 b = a-c = 31-2c
每一項就是 (62-3c)/31 規律得證
由此, 最後的求和也可以這麼算:
由於每一項是 2-(3/31)c, 其中 c 由 1 到 15
故所求和為 2*15-(3/31)(15*16/2) = 30-360/31 = 570/31
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推
10/30 00:43, , 1F
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