Re: [機統] 任意組合乘積和
※ 引述《storypp (隨風而逝的是一份真)》之銘言：
: 假設我有n個數，
: a,b.....,n
: 任取n-1個數會有n組合，
: 把這n組的n-1個數相乘後加總，
: 有這樣的公式嗎？
: 舉例 3,4,5,6 四個數字
: 一共會有
: 3*4*5=60
: 3*4*6=72
: 3*5*6=90
: 4*5*6=120
: 加總60+72+90+120=342
: 有公式可以簡單求出結果嗎？
取 n-1 個數的乘積和其實有個「倒過來想」的方式
就以上面四個數為例好了
這四個乘積其實等於 360/3, 360/4, 360/5, 360/6
360 即是 3*4*5*6
也就是說, 你要的乘積和其實可以寫成 (3*4*5*6)*(1/3+1/4+1/5+1/6)
一般化就是 (Πa_n)*(Σ1/a_n)
: 再追加，如果有公式，
: 那n-2或n-m的組合也有嗎?
這種一般來說沒有更好的公式
頂多就是寫成 (Πa_n)*(所有 m 個 1/a_n 乘積和) 這種形式
而你也看到了它還是乘積和, 也就是並沒有簡化到哪裡去
上面正好是因為 m = 1 所以後面就只是和而已
推文在講的是這樣子:
如果令 S(n,k) 為 a_1,...,a_n 的所有 k 個組合的乘積和
那我們有 S(n,k) = S(n-1,k) + S(n-1,k-1)*a_n
這式子如果不太懂的話找個 n k 代進去就知道了
例如 n = 5, k = 3 寫開就是
abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde
= (abc+abd+acd+bcd) + (ab+ac+ad+bc+bd+cd)*e
前一個括號是 n = 4, k = 3, 後一個括號是 n = 4, k = 2
所以它也沒有簡化到哪裡去, 只是變成可以迭代計算而已
: 如果任意n個數沒有公式，
: 那連續n個數有公式嗎？
: 例如 x,x+1,x+2,...x+n-1
同樣地這個也沒有比較簡化的公式
(abc+bcd+cde+def 這種式子基本上已經夠「簡化」了)
要也頂多是弄像上面那樣的遞迴式出來而已
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'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513
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推
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