[中學] 用積分導四次方和
(1)
x
∫ f(t)dt=x^4 求f(x)=?
x-1
(2)
n
請利用1的結論 求Σ k^4為何
k=1
第一題我兩邊同時對x微分
得到f(x)-f(x-1)=4x^3 -----------(1)
然後let f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 帶入1式--------(2)
得到f(x)=x^4+2x^3+x^2
第二題
n
我對第一題的式子兩邊取Σ
x=1
得到 Σ[F(x)-F(x-1)]=Σx^4 , F(x)= ∫f(x)dx
化簡得到 F(n)-F(0)=Σx^4
得到 Σx^4=(1/5)n^5+(1/2)n^4+(1/3)n^3 -----------(3)
我要問的第一個問題是
有關(1)式
已知f(x)-f(x-1)=4x^3
我猜測f是四次多項式
為什麼可以這樣猜?
這是我自己亂猜的
但是有辦法證明說 這樣的f一定是4次多項式嗎?
我要問的第二個問題是
我檢查了我的過程感覺都沒問題
但是正確答案並非(3)
而是 (1/5)n^5+(1/2)n^4+(1/3)n^3-(1/30)n
請問我是哪裡漏了? 感謝!
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