[代數] 某題數論

看板Math作者 (黑旋風)時間11年前 (2014/08/29 11:51), 11年前編輯推噓0(0推 0噓 5→)
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問一下這題要怎麼證 p是質數,p=1(mod 4) f(x,y)=x^2+y^2(mod p) ,0<=x,y<=p-1,x,y皆為整數 試證 f(x,y)=k,1<=k<=p-1 對每一個k 恰有p-1個數對(x,y)解 -- 　　 /\/. ◢◣ \\/. 　　,\//, //o\,\//,.\//\█◣ /o\\ ,\/,,\/ 　　//o\◢◣ | //o\\/o//o\\█◣|◢◣ //o\/o\.//, 　　 |◢██◣| ◣| | |██████◣| | \o\\ 　　◢██████|◣◢█|███████◣ | | -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.40.41.198 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1409284287.A.944.html ※ 編輯: justinj (114.40.41.198), 08/29/2014 12:54:26 ※ 編輯: justinj (114.40.41.198), 08/29/2014 12:55:08
→
08/29 19:49, , 1F
另一種解法：Cauchy-Davenport => 每個k均有(x,y)解
08/29 19:49, 1F
→
08/29 19:55, , 2F
然後就(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
08/29 19:55, 2F
→
08/29 19:56, , 3F
可證每個非零k都有相同的解數
08/29 19:56, 3F
→
08/29 19:57, , 4F
最後0有2p-1個解因為p=1(mod 4),除了0+0以外所有的
08/29 19:57, 4F
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08/29 19:59, , 5F
都是可以從p=a^2+b^2得(x,y)=(c,bc/a)或(c,-bc/a)
08/29 19:59, 5F
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